vector space 개념 간단하게

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선형대수학 기본 용어 -상급자편 4-

 

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선형대수학 기본 용어 -상급자편 5-

 

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선형대수학 기본 용어 -상급자편 1-

 

 

0. vector space

 

임의의 vector x,y가 S에 속하고, 모든 실수 a,b에 대하여 ax+by도 S에 속하면 S를 vector space라고 부른다.

 

S의 원소가 n차원 vector이면 S는 n차원 vector space이다.

 

참고로 유클리드 공간은 실수 벡터들의 inner product로 이루어진 vector space

 

A Euclidean vector space is a finite-dimensional inner product space over the real numbers.

 

1. basis

 

vector space를 정의하는 기본 단위

 

$R^{n}$의 부분집합인 subspace S의 basis란

 

S에 속하는 벡터의 집합인데 S를 span할 수 있고 vector들이 linear independent여야 한다.

 

2. span

 

S를 span한다는 것은

 

어떤 vector들의 집합에 속하는 vector들끼리 서로 더하거나 길이를 늘려서 S에 속하는 vector를 만들 수 있다는 의미

 

 

3. linear independent

 

vector들이 linear independent여야한다는 것은

 

vector들이 dependent여서 서로 겹치면 space를 만들수 없는데

 

linear independent여서 서로 겹치지 않고 직교한다면 하나의 공간을 만들 수 있음

 

그래서 2차원 공간의 basis는 서로 직교하는 x축과 y축 방향의 두 벡터로 이루어져 있다

 

linear independent와 linear dependent의 차이

 

 

 

 

 

 

위에서 행렬 A의 경우는 3개의 열벡터 a1=(1,-2,3) , a2=(2,-3,5), a3=(1,1,0)으로 이루어져 있는데

 

이들이  A라는 vector space를 만들지만 rank=2로 linear dependent하므로 A의 basis는 아니다.

 

 

2. dimension

 

vector space S의 임의의 basis의 원소의 수를 S의 dimension이라고 부른다.

 

예시로 든 3차원 행렬 A의 경우 3개의 basis로 이루어질 수 있어서 dimension=3

 

 

3. theorem

 

행렬의 row space와 column space의 dimension은 동일하다

 

행렬의 rank는 row space(혹은 column space, 행렬의 선형독립인 열(행)들로 이루어진 공간)의 dimension이고

 

행렬의 nullity는 행렬의 null space(Ax = 0을 만족하는 모든 벡터 x로 이루어진 space)의 dimension을 말한다

 

행렬의 rank와 nullity의 합은 행렬의 dimension과 같다.

 

위의 주어진 행렬 A의 경우 dimension=3이고 rank=2여서 nullity=1이 된다