선형대수학 기본 용어 -상급자편 5-

1. dimension

 

 

<정의>

 

vector space $V$의 basis의 원소의 개수를 $V$의 dimension이라고 부르고 기호로 dim(V)로 표시합니다.

 

 

<dimension theorem>

 

모든 vector space는 basis를 가지는데 유일하지는 않습니다.

 

무수히 많은 basis를 가질 수 있는데 그러나 모든 basis는 동일한 원소의 개수를 가지므로 dim(V)는 유일하게 정의됩니다.

 

basis의 원소의 개수가 무수히 많으면 $V$가 infinite dimensional하다고 부르고 유한하면 finite dimensional이라고 부릅니다.

 

 

<주요 성질>

 

1) vector space $V$의 linear subspace가 $W$이면 $dim(W) \leq dim(V)$

 

2) 만약 $V$가 finite dimensional vector space이고 $W$가 $V$의 subspace이면서 $dim(W)=dim(V)$이면 $V=W$

 

 

2.kernel

 

<정의>

 

두 vector space $V,W$에 대하여 linear mapping $L:V -> W$를 생각합시다.

 

이 때, $L$의 kernel인 ker(L)은 $V$의 원소중 $L:V -> W$에 의해 $W$의 zero vector로 mapping되는 모든 원소의 집합을 말합니다.

 

수학적으로 $L:V -> W$에 대하여 $$ker(L)= \left \{ v \in V|L(v)=0 \right \}$$

 

 

<image>

 

$L:V -> W$의 image는 mapping $L$에 의하여 $V$의 원소가 변환하여 $W$에 나타난 모든 벡터들의 집합을 말합니다.

 

수학적으로는 $L:V -> W$에 대하여 $$im(L)= \left \{ L(v)|v \in V \right \}$$

 

그림1. kernel과 image를 나타낸 그림

 

그림을 보면 $ker(L),im(L)$도 결국엔 vector space $V,W$의 부분집합이므로 하나의 vector space가 되고 dimension theorem에 의해 이들도 dimension을 가집니다.

 

 

<null space>

 

linear map $L:V -> W$을 matrix $A  _{mn}$으로 표현하면 $L(x)=Ax$로 표현할 수 있고

 

kernel의 정의에 의하면 $L(x)=0$을 만족시키는 $x \in V$의 집합을 말하므로

 

$Ax=0$을 만족시키는 $x$의 집합을 matrix $A  _{mn}$ 의 kernel이라고 부르고 기호로 ker(A)라고 표시합니다.

 

이 때 $A  _{mn}$와 곱해서 $0$을 만족시키는 벡터들의 집합이라고 해서

 

특별히 $ker(A)= NULL(A)$라고 표시하여 $A  _{mn}$의 null space라고 부르기도 합니다.

 

null space도 vector space인건 명확한데 $x \in NULL(A)$이고 $y \in NULL(A)$이면 $x+y \in NULL(A)$이고

 

임의의 scalar $c$에 대하여 $cx \in NULL(A)$이므로 vector space가 됩니다.

 

null space 혹은 kernel의 dimension을 특별히 nullity라고도 부릅니다.

 

 

<image의 dimension>

 

theorem1. 임의의 $x$에 대하여 linear independent인 벡터 $Ax$의 최대 개수는 rank(A)

 

$Ax  _{1} ,Ax  _{2} ,...,Ax  _{rank(A)+1}$은 무조건 linear dependent이다.

 

definition1. vector space의 basis는 linear independent인 벡터들의 최대개수로 이루어진 집합이다.

 

definition2. matrix $A$의 image는 벡터 $Ax$로 이루어진 vector space이다.

 

위 3가지 사실을 조합하여 생각하면 $im(A)$의 dimension은 rank(A)

 

 

<rank-nullity theorem>

 

linear map $L:V -> W$의 kernel과 image의 dimension의 합은 $V$의 dimension과 동일합니다.

 

$$dim(ker(L))+dim(im(L))=dimV$$

 

matrix로 바꿔서 생각하면 $L:V -> W$를 $A  _{mn}$을 이용하여 $L(x)=Ax$으로 바꾸면

 

$dim(ker(A))= Nullity(A)$, $dim(im(A))=rank(A)$이라는 것을 위에서 보였습니다.

 

$L(x)=Ax$는 잘 생각해보면 벡터 $x$를 벡터 $Ax$로 mapping시키는 함수입니다.

 

그런데 $A$는 $m \times n$임을 가정하였으므로 $x$는 n차원 벡터이고 따라서 $x$가 이루는 vector space의 dimension은 n임을 알 수 있습니다.

 

그러므로 $dim(V)=n$이 되어 matrix version으로 표현한 rank-nullity theorem은 $$rank(A)+ Nullity(A)=n$$ 이 항상 성립한다는 사실을 말합니다.