선형대수학 기본 용어 -상급자편 4-

1. vector space

 

 

<정의>

 

추상적으로는 벡터들의 집합이지만 일반적으로는 임의의 $v  _{1} ,v  _{2}  \in V$와 scalar c에 대하여 $v  _{1}+v  _{2}  \in V$를 만족시키고 $cv  _{1}  \in V$를 만족시키면 $V$를 vector space라고 부릅니다.

 

 

<linear subspace>

 

vector space $V$의 부분집합이 vector space이면 $V$의 linear subspace 혹은 간단히 subspace라고 부릅니다.

 

 

2. span

 

 

<정의>

 

어떤 vector space S에 속하는 $v  _{1} ,v  _{2} ,...,v  _{n}  \in S$에 대하여 $v  _{1} ,v  _{2} ,...,v  _{n}  \in S$의 임의의 부분집합으로 만들 수 있는 모든 linear combination의 집합을 S의 span이라고 부릅니다.

 

$$span(S)= \left \{ \sum _{i=1} ^{k} a  _{i} v  _{i} |k \in {1,2,...,n},v  _{i}  \in S,a  _{i}  \in R \right \}$$

 

 

<직관적인 이해>

 

vector space의 정의에 의하면 어떤 vector들의 linear combination은 어떤 vector space에 속합니다.

 

다시 말해 어떤 vector space S의 span이라는 것은 vector space를 이루는, 혹은 생성하는 vector들의 집합이라고 볼 수 있습니다.

 

 

<주요 성질>

 

vector space $S$의 모든 span은 적어도 S에 속한 linear independent한 vector의 부분집합을 반드시 포함하고 있습니다.

 

 

3. basis

 

 

<motivation>

 

조금만 생각해보면 span이라는 것은 $v  _{1} ,v  _{2} ,...,v  _{n}$을 포함해서 무수히 많은 vector들을 포함하고 있습니다.

 

무수히 많은 원소를 가진 집합은 다루기 힘들기 때문에 불필요한 부분을 제거한 최소의 집합에 관심이 있습니다.

 

 

<정의>

 

어떤 vector space $S$의 basis $B$는 $B \subset span(S)$이면서 $B$의 모든 부분집합의 벡터들이 linear independent이면 basis라고 부릅니다.

 

 

<주요 성질>

 

1) vector space $S$의 basis는 유일하지 않지만 모두 동일한 원소의 개수를 가집니다.

 

그 원소의 개수를 특별히 vector space $S$의 dimension이라고 부르고 dim(S)라고 표시합니다.

 

2) $S$의 span이 basis일 필요충분조건은 span(S)가 최소(minimal)여야하고 linear independent vector set L이 basis일 필요충분조건은 최대(maximal)여야합니다.

 

이 말은 span(S)의 원소의 수가 최소인 집합이 basis이고 S의 linear independent set중에서 크기가 최대인 집합이 basis임을 말하고 있습니다.

 

이걸 기호로 표시하면 $$L \subseteq B \subseteq span(S)$$