선형대수학 기본 용어 -상급자편 2-

1. rank

 

<정의>

 

주어진 행렬의 linear independent인 행의 수를 row rank, linear independent인 열의 수를 column rank라고 부릅니다.

 

linear algebra에서 가장 중요한 결과 중 하나는 row rank와 column rank가 항상 같다는 것으로 그래서 둘 중 하나를 행렬의 rank라고 부릅니다.

 

기호로 보통 $r  _{A} =r(A)=rank(A)$라고 표시합니다.

 

<relationship with invertible>

 

1) square matrix $A  _{nn}$의 rank가 n이면 full rank를 가진다고 하고 모든 행이나 열이 linear independent하다고 부르며 $A  _{nn}$이 invertible인 것과 필요충분조건이다.

 

2) square matrix가 아닌 경우 $A  _{pq}$에서 $p<q$인데 rank(A)=p이면 full row rank matrix라고 부르고 $p>q$인데 rank(A)=q이면 full column rank matrix라고 부른다.

 

<주요 성질>

 

1) rank는 정의로부터 0이상의 양수이지만 오직 zero matrix만 rank=0이다.

 

2) $A  _{nn}$이 invertible일 필요충분조건은 $A  _{nn}$가 full rank를 가질 때이다. $$rank(A)=n$$

 

3) $rank(A  _{mn} ) \leq min(m,n)$

 

4) $rank(AB) \leq min(rank(A),rank(B))$

 

5) 주어진 행렬 A에 임의의 nonsingular matrix를 곱해도 주어진 행렬의 rank는 변하지 않는다.

 

즉, $Q  ^{-1}$가 존재하는 $Q$에 대하여 $$rank(A)=rank(QA)=rank(AQ)$$

 

 

6) 모든 원소가 실수인 행렬 $A$에 대하여 $$rank(AA  ^{T} )=rank(A  ^{T} A)=rank(A)=rank(A  ^{T} )$$

 

7) $A  _{mn}$과 $B  _{nk}$에 대하여 $$rank(A)+rank(B)-n \leq rank(AB)$$

 

8) idempotent matrix $M  _{nn}$에 대하여 $$rank(I-M)=n-rank(M)$$

 

 

2. trace

 

<정의>

 

$n \times n$ square matrix $A= \left \{ a  _{ij} \right \}$에 대하여 main diagonal의 합 $tr(A)= \sum _{i=1} ^{n} a  _{ii}$을 $A= \left \{ a  _{ij} \right \}$의 trace라고 부릅니다.

 

<주요 성질>

 

1) $tr(A+B)=tr(A)+tr(B)$이고 임의의 실수 c에 대하여 $tr(cA)=ctr(A)$

 

2) $tr(A  ^{T} )=tr(A)$

 

3) cyclic으로 행렬의 곱을 회전시켜도 trace값은 변하지 않습니다.

 

$$tr(ABCD)=tr(BCDA)=tr(CDAB)=tr(DABC)$$

 

[ABCD에서 A를 끝으로 옮김 >> BCDA에서 B를 끝으로 옮김 >> CDAB에서 C를 끝으로 옮김]

 

반대로 임의의 permutation은 trace가 변할 수 있습니다. $$tr(ABCD) \neq tr(BACD)$$

 

4) $A  ^{2} =A$를 만족시키는 idempotent matrix $A$는 $tr(A)=rank(A)$

 

5) 어떤 양의 정수 k에 대하여 $A  ^{k} =0$을 만족시키는 행렬 $A$에 대하여 $tr(A)=0$

 

역으로 모든 k에 대하여 $tr(A  ^{k} )=0$이면 $A  ^{m} =0$을 만족시키는 양의 정수 m이 존재한다.

 

6) $A$의 eigenvalue가 $\lambda   _{1} , \lambda   _{2} ,..., \lambda   _{n}$이면 $$tr(A)= \sum _{i=1} ^{n}  \lambda   _{i}$$ 이고 $$tr(A  ^{k} )= \sum _{i=1} ^{n}  \lambda   _{i} ^{k}$$

 

7) $tr(AA  ^{T} )=0$이면 $A=0$ 혹은 $tr(A  ^{T} A)=0$이면 $A=0$이다.

 

참고로 $AA  ^{T} =0$이면 $A=0$이고 $A  ^{T} A=0$이면 $A=0$이다.