선형대수학 기본 용어 -중급자편 4-

1. normal matrix

 

conjugate transpose $A  ^{H}$에 대하여 $AA  ^{H} =A  ^{H} A$를 만족시키는 행렬 $A$를 normal matrix라고 부른다.

 

모든 원소가 실수인 행렬이라면 $AA  ^{T} =A  ^{T} A$인 행렬 $A$를 normal matrix라고 부른다.

 

2. orthogonal matrix

 

<norm>

 

벡터 $x=<x  _{i} >$의 norm이라는 것은 $$\left \| x \right \| = \sqrt{x\cdot x} = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}}$$

 

the construction of the norm of a vector is motivated by a desire to extend the intuitive notion of the length of a vector to higher-dimensional spaces.

 

벡터의 norm은 고차원에서 vector의 길이에 대한 직관적인 개념으로 확장하고자 도입되었다라고 설명하고 있습니다.

 

<orthogonal>

 

두 벡터 $x,y$가 orthogonal하기 위한 필요충분조건은 두 벡터 $x,y$의 inner product가 0일 때이다. 

 

기호로 $x \bot y$라고 표시합니다.

 

<normalized vector>

 

주어진 vector의 length 혹은 norm이 1인 vector를 normalized vector 혹은 unit vector라고 부릅니다.

 

모든 vector는 norm이 1이 되도록 normalize 시킬 수 있습니다.

 

$$\hat{x} = \frac{x}{\left \| x \right \|}$$는 $x$와 방향이 같고 norm이 1인 normalized vector입니다.

 

<orthonormal>

 

서로 다른 두 벡터 $x,y$가 orthogonal하고 $x,y$각각의 길이(norm)가 1인 unit vector이면 $x,y$는 orthonormal하다고 부릅니다.

 

벡터들의 집합 $V$의 임의의 두 원소 $v  _{1} ,v  _{2}$가 서로 orthogonal이고 unit vector이면 $V$를 orthonormal set이라고 부릅니다.

 

orthonormal set의 모든 벡터들은 linear independent한 성질을 가집니다.

 

<orthogonal matrix>

 

모든 원소가 실수인 square matrix $A$가 $A  ^{T} A=AA  ^{T} =I$를 만족시키면 $A$를 orthogonal matrix라고 부릅니다.

 

<주요 성질>

 

1) orthogonal matrix $A$의 모든 row나 모든 column은 orthonormal입니다.

 

즉 모든 row를 모아놓은 set은 서로 orthogonal하고 모두 norm이 1인 normalized vector set인 orthonormal입니다.

 

마찬가지로 모든 column을 모아놓은 set은 서로 orthogonal하고 norm이 1인 normalized vector set인 orthonormal입니다.

 

2) 주어진 행렬의 모든 행의 집합이 orthonormal이면 모든 열의 집합도 orthonormal이고 그 반대인 모든 열의 집합이 orthonormal이면 모든 행의 집합도 orthonormal입니다.

 

3) orthogonal matrix의 determinant는 1아니면 -1입니다.