선형대수학 기본 용어 -중급자편 3-

1. adjugate matrix

 

주어진 square matrix A의 모든 원소를 대응하는 cofactor로 바꾸고 transpose한 행렬을 말합니다.

 

즉 $A  _{nn} = \left \{ a  _{ij} \right \}$에 대하여 $a  _{ij}$의 cofactor $c  _{ij} =(-1) \left \| M  _{ij} \right \|$로 치환하여 만든 행렬 $C  _{nn} = \left \{ c  _{ij} \right \}$의 transpose $C  ^{T} =adjA= \left \{ c  _{ij} \right \}  ^{T}$를 adjugate matrix라고 부릅니다.

 

이 행렬이 중요한 이유는 $A  _{nn}$의 inverse matrix를 구하게 만들어줍니다. 

 

즉 $A  _{nn}$의 역행렬이 존재한다면 $$A  ^{-1} = \frac{1}{det(A)} adjA$$

 

2. unitary matrix

 

<complex conjugate>

 

두 실수 a,b에 대하여 complex number a+bi의 complex conjugate란 a-bi를 말한다.

 

주어진 행렬 A의 conjugate transpose란 A의 transpose $A  ^{T}$를 구하고 각 원소를 complex conjugate로 치환한 행렬을 말하고 기호로 $A  ^{H}$로 표시한다.

 

예를 들어 $A=\begin{pmatrix} 1 & -2-i &5 \\  1+i & i & 4-2i  \end{pmatrix}$가 주어지면 $A^{T}=\begin{pmatrix} 1 & 1+i\\  -2-i & i\\  5 & 4-2i \end{pmatrix}$이고 각 원소를 complex conjugate로 치환하면 $A^{H}=\begin{pmatrix} 1 & 1-i\\  -2+i & -i\\  5 & 4+2i \end{pmatrix}$

 

이로부터 만약 모든 원소가 실수인 행렬 A의 conjugate transpose는 $A  ^{H}=A  ^{T}$

 

<unitary matrix>

 

주어진 square matrix $U$가 $U  ^{H} U=UU  ^{H} =I$이면 unitary matrix라고 부른다.

 

만약 모든 원소가 실수이면 $U  ^{T} U=UU  ^{T} =I$를 만족시키므로 이 경우 orthogonal matrix이기도 하다.

 

정의로부터 $U  ^{H}$도 inverse가 $U$인 unitary matrix이다.

 

 

3. Hermitian matrix

 

<정의>

 

주어진 행렬 A의 모든 $i,j$원소 $a  _{ij}$와 $j,i$원소 $a  _{ji}$의 켤레복소수 $\bar{a  _{ji}}$가 동일하다면 행렬 A를 Hermitian matrix라고 부른다.

 

주어진 행렬 A의 conjugate transpose란 A의 transpose $A  ^{T}$를 구하고 각 원소를 complex conjugate로 치환한 행렬을 말하고 기호로 $A  ^{H}$로 표시한다.

 

그래서 Hermitian matrix는 $A=A  ^{H}$를 만족시키는 행렬을 말한다.

 

<주요 성질>

 

1) 모든 원소가 실수인 행렬 A는 conjugate transpose가 $A  ^{H} =A  ^{T}$이므로 Hermitian matrix일 필요충분조건은 A가 symmetric인 것이다.

 

2) 정의로부터 Hermitian matrix의 main diagonal의 모든 원소는 실수이다.