선형대수학 기본 용어 -중급자편 2-

1. eigenvalue

 

<정의>

 

행렬 $A$에 대하여 등식 $Au= \lambda u$을 만족시키는 어떤 실수 $\lambda$를 $A$의 eigenvalue라 부르고 이에 대응하는 벡터 $u$를 eigenvector라고 부릅니다.

 

$A  _{nn}$의 eigenvalue는 n개가 존재하는데 각각의 eigenvalue에 대하여 대응하는 eigenvector는 무수히 많을 수 있습니다.

 

<기하학적 의미>

 

$Au= \lambda u$를 생각하면 eigenvector $u$는 선형변환 $A$에 의해 변환을 하더라도 단순히 길이만 변하거나 방향이 반대만 되는 벡터를 의미합니다.

 

그림1. eigenvector의 기하학적 의미

 

<주요 성질>

 

1) A의 eigenvalue의 곱은 A의 determinant와 같습니다. $$det(A)= \prod _{i=1} ^{n}  \lambda   _{i}$$

 

2) A의 main diagonal element의 합인 trace는 A의 eigenvalue의 합과 같습니다. $$tr(A)= \sum _{i=1} ^{n} a  _{ii} = \sum _{i=1} ^{n}  \lambda   _{i}$$

 

3) A가 invertible일 필요충분조건은 모든 eigenvalue가 0이 아니어야합니다.

 

 

4) $A$의 eigenvalue가 $\lambda   _{1}, \lambda   _{2},..., \lambda   _{n}$이면 양의 정수 k에 대하여 $A  ^{k}$의 eigenvalue는 $$\lambda   _{1} ^{k} , \lambda   _{2} ^{k} ,..., \lambda   _{n} ^{k}$$ 와 같습니다.

 

5) 특히 역행렬이 존재하면 $A  ^{-1}$의 eigenvalue는 $$\frac{1}{\lambda   _{1}} , \frac{1}{\lambda   _{2}} ,..., \frac{1}{\lambda   _{n}}$$ 와 같습니다.

 

6) 역행렬의 eigenvector와 원래 행렬의 eigenvector는 동일한 것으로 구할 수 있습니다.

 

2. characteristic equation

 

<정의>

 

주어진 행렬 $A$에 대하여 0이 아닌 eigenvector $u$가 존재한다면 $Au= \lambda u$로부터 $(A- \lambda I)u=0$을 만족시킨다.

 

이 때 $A- \lambda I$의 역행렬이 존재하면 $u=0$이므로 0이 아닌 eigenvector $u$라는 조건에 모순되므로 $A- \lambda I$의 역행렬이 존재하지 않는다.

 

즉, $$det(A- \lambda I)=0$$ 을 만족시킨다는 의미인데 이것을 $A$의 characteristic equation이라고 부른다.

 

<성질>

 

A의 eigenvalue n개에 대한 n차 방정식으로 인수분해할 수 있다. $det(A- \lambda I)=0$은 $( \lambda - \lambda   _{1} )( \lambda - \lambda   _{2} )...( \lambda - \lambda   _{n} )=0$과 동치이다.

 

이 말은 characteristic equation의 n개의 근은 행렬의 eigenvalue라는 뜻이고 근의 집합을 행렬 $A$의 specturm이라고 부릅니다.

 

<characteristic equation과 eigenvalue>

 

characteristic equation이 $( \lambda - \lambda   _{1} )( \lambda - \lambda   _{2} )...( \lambda - \lambda   _{n} )=0$으로 인수분해되어 항상 n개의 근을 가진다고 하지만 사실 $\lambda   _{1}, \lambda   _{2},..., \lambda   _{n}$중 일부는 같을 수도 있습니다. 

 

만약 서로 구별되는 characteristic equation의 해를 s개라고 하면 행렬의 구별되는 eigenvalue는 $\lambda   _{1}, \lambda   _{2},..., \lambda   _{s}$이고 이들은 각각 $m  _{1} ,m  _{2} ,...,m  _{s}$개 있다고 말할 수 있습니다.

 

그랬을 때 characteristic equation은 $( \lambda - \lambda   _{1} )  ^{m  _{1}} ( \lambda - \lambda   _{2} )  ^{m  _{2}} ...( \lambda - \lambda   _{s} )  ^{m  _{s}} =0$로 인수분해됩니다.

 

이 $m  _{i} ,i=1,2,...,s$를 $\lambda   _{i}$의 algebraic multiplicity라고 부르며 $\sum _{i=1} ^{s} m  _{i} =n$이 성립합니다.