선형대수학 기본 용어 -초보자편 3-

1. idempotent matrix

 

$A  ^{2} =A$를 만족시키는 행렬 $A$를 말합니다. $A  ^{2}$이 정의되어야하므로 기본적으로 idempotent matrix일려면 행렬 곱의 정의로부터 square matrix여야 합니다.

 

중요한 성질을 몇가지 나열하자면

 

1-1) idempotent matrix인 $A$가 역행렬을 가진다면 반드시 identity matrix가 됩니다. 

 

$A  ^{2} =A$에서 $A  ^{-1}$를 곱하면 $A=I$가 됩니다. 이 말은 반대로 말하면 idempotent matrix인데 identity matrix가 아니면 역행렬이 존재하지 않는다는 뜻입니다.

 

1-2) idempotent matrix의 trace는 rank와 같습니다.

 

1-3) idempotent matrix는 항상 대각화가능(diagonalizable)이고 eigenvalue는 0또는 1을 가집니다.

 

2. transpose matrix

 

주어진 행렬의 모든 $i$행과 $j$열을 서로 바꿔서 만든 새로운 행렬을 말합니다. 수학적으로 표현하면

 

$$A= \left \{ a  _{ij} \right \}일 때, A  ^{T} = \left \{ a  _{ji} \right \}$$

 

T라는 표현 대신에 $A  ^{'}$이라고 표현하기도 합니다.

 

예를 들어 $A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 5\\  2 & 4 & 6 \end{pmatrix}$이면 1행인 1,3,5는 $A  ^{T}$의 1열로 가고 2행인 2,4,6은 $A  ^{T}$의 2열로 갑니다. 그래서 $$A ^{T}=\begin{pmatrix} 1 &2 \\   3& 4\\   5& 6 \end{pmatrix}$$

 

경험상 중요한 성질을 몇가지 나열하면

 

2-1) transpose matrix의 transpose는 원래대로 돌아갑니다. $$(A  ^{T} )  ^{T} =A$$

 

2-2) 행렬곱이 정의되는 행렬들을 곱하여 얻은 행렬의 transpose matrix는 transpose matrix들을 순서를 뒤바꿔서 곱하면 됩니다.

 

$$(AB)  ^{T} =B  ^{T} A  ^{T}이고$$

$$일반적으로 (A  _{1} A  _{2} ....A  _{k-1} A  _{k} )  ^{T} =A  _{k} ^{T} A  _{k-1} ^{T} ...A  _{2} ^{T} A  _{1} ^{T}$$

 

2-3) A의 모든 원소가 실수일 때 $A  ^{T} A$는 positive semidefinite matrix입니다.

 

2-4) transpose matrix의 역행렬은 원래 행렬의 역행렬의 transpose가 됩니다. $$(A  ^{T} )  ^{-1} =(A  ^{-1} )  ^{T}$$

 

2-5) transpose matrix의 determinant는 원래 행렬의 determinant와 같습니다. $$det(A  ^{T} )=det(A)$$

 

2-6) A가 square matrix이면 transpose matrix의 eigenvalue는 A의 eigenvalue와 같습니다.

 

 

3. symmetric matrix

 

주어진 행렬 $A$의 transpose를 해도 여전히 $A$가 되는 행렬을 말합니다. 수학적으로 $A  ^{T} =A$를 만족시키는 행렬을 말합니다.

 

이 정의로부터 행렬이 symmetric이라는 것은 square matrix라는 의미를 포함하고 있습니다.