선형대수학 기본 용어 -초보자편 2-

1. order(dimension)

 

m개의 행과 n개의 열을 가지는 행렬 $A$의 order은 $m \times n$을 말합니다. 다른 말로 행렬의 dimension이라고도 부릅니다.

 

dimension은 행렬의 원소의 수와도 관련되어 있습니다. dimension이 $m \times n$인 행렬 $A$의 원소의 수는 $mn$개 있습니다.

 

2. 행렬의 기본연산

 

2-1) 행렬의 덧셈이나 뺄셈은 두 행렬의 대응하는 원소의 덧셈이나 뺄셈으로 정의됩니다. 이로부터 덧셈은 두 행렬의 dimension이 동일해야 가능합니다.

 

수학적으로 $$A  _{mn} +B  _{mn} = \left \{  a  _{ij} +b  _{ij} \right \}$$

 

2-2) 행렬의 scalar 곱은 행렬의 모든 원소에 해당 scalar를 곱하면 됩니다. 

 

수학적으로 임의의 실수 $c$에 대하여 $$cA= \left \{ ca  _{ij} \right \}$$

 

2-3) 두 행렬 $A  _{mn}$와 $B  _{nl}$의 곱셈인 $AB$는 A의 열의 수와 B의 행의 수가 동일(열=행이면)해야 정의되며 $AB  _{ml}$ 의 dimension은 $A의 row \times B의 column$으로 (행열이 된다)구해집니다.

 

열=행이면 행열이 된다로 외우면 편합니다.

 

수학적으로 $AB  _{ml}$의 $i,j$의 원소는 $$AB  _{i,j} = \sum _{k=1} ^{n} a  _{ik} b  _{kj}$$

 

그림1. 행렬 곱셈의 상상도

 

행렬의 곱셈은 그 정의에 의해 일반적으로 교환법칙이 성립하지 않습니다. 

 

즉 $$AB \neq BA$$

 

그래서 곱하는 순서에 주의해야합니다.

 

그러나 분배법칙이나 결합법칙은 성립합니다. 특히 분배법칙은 곱하는 순서에 주의해야합니다. 

 

$(AB)C=A(BC)$ 이고 $A(B+C)=AB+AC$이며 $(B+C)A=BA+CA$입니다.

 

2-4) 두 행렬이 동일하다는 것은 대응하는 모든 원소가 동일하다는 것입니다. 이 말은 기본적으로 두 행렬의 dimension이 동일하다는 것이 전제로 되어 있습니다.

 

수학적으로 $A=B$인 것은 모든 $i,j$에 대하여 $$a  _{ij}=b  _{ij}$$

 

2-5) 행렬은 부등식도 정의할 수는 있습니다.

 

$A \geq B$라는 것은 $$a  _{ij}  \geq b  _{ij}$$

 

3. square matrix

 

행렬 A의 행과 열의 수가 동일한 행렬을 square matrix라고 부릅니다.

 

4. identity matrix

 

$n \times n$ square matrix에 대해서만 정의되며 모든 주대각선(main diagonal element)의 원소가 1이고 나머지 원소는 전부 0인 행렬을 말합니다.

 

기호로 $I  _{n}$이나 차원을 명백하게 알 수 있으면 $I$라고도 표현합니다.

 

예를 들어 $I_{3}=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\ 
0 & 1 & 0\\ 
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$으로 씁니다. 이것을 대각행렬임을 강조하여 $I  _{3}=diag(1,1,1)$이라고도 씁니다.

 

unit matrix라고도 표현하지만 보통 identity matrix라고 주로 표현합니다.

 

중요한 성질을 몇가지 나열하자면

 

4-1) identity matrix와 행렬 곱이 정의되는 임의의 행렬 A에 대하여 identity matrix를 곱해도 여전히 A가 됩니다. 수식으로 표현하면 $$IA=AI=A$$

 

4-2) 유일하게 역행렬을 가지는 idempotent matrix입니다. 유일하게 역행렬을 가지므로 유일하게 모든 행과 열이 서로 선형독립(linearly independent)인 idempotent matrix입니다.