선형대수학 기본 용어 -초보자편 4-

1. diagonal matrix

 

diagonal matrix는 main diagonal이 아닌 원소들이 모두 0인 행렬을 말합니다.

 

main diagonal은 $i$번째 행에 위치하면서 동시에 $i$번째 열에 위치하는 $a  _{ii}$의 원소들을 말합니다.

 

일반적으로 square matrix를 가정하지만 아닐 수도 있습니다.

 

그림1. diagonal matrix의 예시

 

그림5에서 빨간 선분은 main diagonal을 나타냅니다.

 

main diagonal이 n개인 diagonal matrix는 기호로 보통 $diag(a  _{1} ,a  _{2} ,...,a  _{n} )$으로 나타냅니다.

 

중요한 성질을 몇가지 나열하자면

 

1-1) determinant는 main diagonal의 원소들의 곱으로 구해집니다.

 

1-2) main diagonal의 모든 원소들이 0이 아니면 역행렬이 존재하고 역행렬은 $$diag( \frac{1}{a  _{1}} ,\frac{1}{a  _{2}} ,..., \frac{1}{a  _{n}} )$$

 

1-3) eigenvalue는 main diagonal의 원소들과 같습니다.

 

 

2. invertible matrix

 

주어진 square matrix $A  _{nn}$가 invertible이라는 것은 $AB=BA=I$를 만족시키는 행렬 $B  _{nn}$가 존재한다는 것입니다.

 

invertible한 행렬 $A  _{nn}$는 다른 말로는 non-singular이라고도 부르고 반대로 invertible하지 않은 행렬은 singular이라고도 부릅니다.

 

square matrix $A  _{nn}$가 invertible하기 위한 필요충분조건은 $A  _{nn}$의 determinant가 0이 아니어야합니다.

 

이것의 파생으로 $A  _{nn}$의 rank가 n이다.

 

모든 열이나 행이 linearly independent이다.

 

$A  _{nn}$의 eigenvalue는 모두 0이 아니다.는 모두 동일한 말입니다.

 

$AB=BA=I$에서 행렬 $B  _{nn}$에 특히 관심이 있는데 $A  _{nn}$의 inverse matrix라 부르고 $B=A  ^{-1}$라고 표시합니다.

 

inverse matrix의 몇가지 성질을 나열해보자면

 

2-1) $A  _{nn}$의 역행렬은 유일하게 존재하고 $(A  ^{-1} )  ^{-1} =A$이며 $(A  ^{T} )  ^{-1} =(A  ^{-1} )  ^{T}$가 성립합니다.

 

2-2) 0이 아닌 실수 $k$에 대하여 $(kA)  ^{-1} = \frac{1}{k} A  ^{-1}$이고 $det(A  ^{-1} )=(detA)  ^{-1}$가 성립합니다.

 

2-3) transpose matrix와 비슷하게 $(AB)  ^{-1} =B  ^{-1} A  ^{-1}$가 성립합니다. 일반적으로 $$(A  _{1} A  _{2} ...A  _{n} )  ^{-1} =A  _{n} ^{-1} A  _{n-1} ^{-1} ...A  _{1} ^{-1}$$이 성립합니다.