선형대수학 기본 용어 -중급자편 1-

<정의>

 

square matrix의 어떤 특성을 나타내주는 하나의 scalar value로 mapping하는 함수를 말합니다.

 

구체적으로 determinant가 0이 아니라는 것은 주어진 square matrix가 invertible이라는 것과 동치가 됩니다.

 

행렬 $A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} &  \cdots & a_{1n}\\  a_{21}&  a_{22}&  \cdots & a_{2n}\\   \vdots & \vdots  & \vdots  & \vdots \\   a_{n1}&  a_{n2}& \cdots  & a_{nn} \end{pmatrix}$가 주어질 때 기호로 $$det(A)=\left | A \right |=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} &  \cdots & a_{1n}\\  a_{21}&  a_{22}&  \cdots & a_{2n}\\   \vdots & \vdots  & \vdots  & \vdots \\   a_{n1}&  a_{n2}& \cdots  & a_{nn} \end{vmatrix}$$ 로 씁니다.

 

계산하는 방법은 여러 가지가 있지만 잘 알려진 방법은 minor에 의한 laplace expansion을 이용합니다.

 

<Laplace expansion>

 

행렬 $A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} &  \cdots & a_{1n}\\  a_{21}&  a_{22}&  \cdots & a_{2n}\\   \vdots & \vdots  & \vdots  & \vdots \\   a_{n1}&  a_{n2}& \cdots  & a_{nn} \end{pmatrix}$의 $i,j$의 minor $\left | M_{ij} \right |$는 $A  _{nn}$의 $i$번째 행, $j$번째 열을 제거한 행렬의 determinant로 정의합니다.

 

예를 들어서 $A_{33}=\begin{pmatrix} 1 & 2 &3 \\  2 & 1 &5 \\  3& 0 &1  \end{pmatrix}$의 $\left | M_{23} \right |$은 $A_{33}=\begin{pmatrix} 1 & 2 &3 \\  2 & 1 &5 \\  3& 0 &1  \end{pmatrix}$의 2행과 3열을 제거하고 남은 행렬의 행렬식인 $\begin{vmatrix} 1 & 2\\   3& 0 \end{vmatrix}$을 말합니다.

 

그림1. minor를 구하는 방법

 

행렬 $A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} &  \cdots & a_{1n}\\  a_{21}&  a_{22}&  \cdots & a_{2n}\\   \vdots & \vdots  & \vdots  & \vdots \\   a_{n1}&  a_{n2}& \cdots  & a_{nn} \end{pmatrix}$의 한 원소인 $a  _{ij}$의 cofactor는 $$c  _{ij} =(-1)  ^{i+j} \left | M  _{ij} \right |$$ 로 정의합니다.

 

cofactor와 minor를 이용하여 행렬 $A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} &  \cdots & a_{1n}\\  a_{21}&  a_{22}&  \cdots & a_{2n}\\   \vdots & \vdots  & \vdots  & \vdots \\   a_{n1}&  a_{n2}& \cdots  & a_{nn} \end{pmatrix}$의 determinant는 특정한 열 $j$을 선택하고 그 열에 존재하는 모든 원소로부터 cofactor를 구한 뒤 cofactor와 해당 원소의 곱의 합으로 구해집니다.

 

구체적으로 특정한 열 $j$ 에 대하여 $$det(A)= \sum _{i=1} ^{n} c  _{ij} a  _{ij}$$

 

혹은 특정한 행 $i$를 선택하고 cofactor와 원소의 곱의 합으로 구할 수도 있습니다. 즉, $$det(A)= \sum _{j=1} ^{n} c  _{ij} a  _{ij}$$ 으로도 구할 수 있습니다.

 

$1 \times 1$행렬의 determinant는 그 값 자체가 됩니다. $A= \left ( 3 \right )$의 determinant는 3입니다.

 

$2 \times 2$행렬의 determinant는 $A=\begin{pmatrix} a &b \\  c &d  \end{pmatrix}$를 예를 들어 생각해보면...

 

1행을 정하고 1행의 원소인 a, b의 cofactor는 각각 1행 1열원소, 1행 2열 원소이므로 $(-1)  ^{1+1} d$, $(-1)  ^{1+2} c$으로 구해져서.. $det(A)=(-1)  ^{1+1} ad+(-1)  ^{1+2} bc=ad-bc$

 

그림1에서 예로 든 행렬의 행렬식을 구해봅니다. 일반적으로 0이 들어간 행이나 열을 선택하는 것이 계산이 편합니다.

 

3행을 선택하고 $A_{33}=\begin{pmatrix} 1 & 2 &3 \\  2 & 1 &5 \\  3& 0 &1  \end{pmatrix}$의 3행의 원소 3, 0, 1의 cofactor를 각각 구하면 $(-1)^{3+1}\begin{vmatrix} 2 &3 \\  1 &5  \end{vmatrix}$ , $(-1)^{3+2}\begin{vmatrix} 1 &3 \\  2 &5  \end{vmatrix}$, $(-1)^{3+3}\begin{vmatrix} 1 &2 \\  2 &1  \end{vmatrix}$이므로

 

$\begin{vmatrix} a &b \\  c &d  \end{vmatrix}=ad-bc$를 이용하면 $$det(A)=(-1)^{3+1}\times3\times\begin{vmatrix} 2 &3 \\  1 &5  \end{vmatrix} + (-1)^{3+3}\times1\times\begin{vmatrix} 1 &2 \\  2 &1  \end{vmatrix}=21-3=18$$

 

 

<기하학적인 의미>

 

$2\times2$행렬 $A=\begin{pmatrix} a &b \\  c &d  \end{pmatrix}$의 행렬식은 (a,c)와 (b,d)가 만들어내는 평행사변형의 넓이와 같습니다.

 

그림2. 2*2행렬의 행렬식의 기하학적인 의미

 

더욱 일반적으로 주어진 도형 $S$를 행렬 $A$에 의해 linear transformation한 $S'$의 면적(혹은 부피)은 원래 도형 $S$의 면적(혹은 부피)에 $A$의 determinant인 $det(A)$를 곱한 것과 같다.

 

아무리 복잡한 도형도 $det(A)=0$인 $A$에 의해 변환하면 면적(혹은 부피)이 0이 된다

 

$det(A)>0$이면 양의 방향으로 변환한 것이고 $det(A)<0$이면 음의 방향으로 변환한 것이다. 

 

<주요 성질>

 

1) 곱이 정의되는 두 square matrix의 곱의 행렬식은 각각 행렬의 행렬식의 곱과 같다. $$det(AB)=det(A)det(B)$$

 

2) transpose matrix의 determinant는 원래 행렬의 determinant와 같다. $$det(A  ^{T} )=det(A)$$

 

3) 행렬의 determinant는 주어진 행렬의 모든 eigenvalue의 곱과 같다. $$det(A)= \prod _{i=1} ^{n}  \lambda   _{i}$$

 

4) 역행렬의 determinant는 원래 행렬의 determinant의 역수와 같다. $$det(A  ^{-1} )= \frac{1}{det(A)}$$

 

5) 행렬 $A$가 invertible일 필요충분조건은 $$det(A) \neq 0$$

 

즉 $det(A) \neq 0$이어야 $A$의 역행렬이 존재합니다.