선형대수학 기본 용어 -중급자편 5-

1. definite matrix

 

<정의>

 

임의의 0이 아닌 벡터 $x \in R  ^{n}$에 대하여 $x  ^{T} Ax>0$이면 행렬 A를 positive definite matrix라고 부른다.

 

모든 $x \in R  ^{n}$에 대하여 $x  ^{T} Ax \geq 0$이면 행렬 A를 positive semi-definite matrix라고 부른다.

 

반대로 임의의 0이 아닌 벡터 $x \in R  ^{n}$에 대하여 $x  ^{T} Ax<0$이면 행렬 A를 negative definite matrix라고 부른다.

 

모든 $x \in R  ^{n}$에 대하여 $x  ^{T} Ax \leq 0$이면 행렬 A를 negative semi-definite matrix라고 부른다.

 

<특징>

 

어떤 행렬 A에 대하여 $x  ^{T} Ax$을 quadratic form이라고 부르는데 일반적으로 특정한 $x  ^{T} Ax$를 나타내는데는 무수히 많은 행렬 A가 존재한다.

 

그러나 특정한 $x  ^{T} Ax$를 나타내는 symmetric matrix A는 유일하게 존재한다. 그래서 definite matrix는 일반적으로 symmetric matrix를 가정한다.

 

만약 A가 symmetric matrix가 아니면 동일한 $x  ^{T} Ax$을 나타내면서 symmetric인 행렬 A는 $\frac{1}{2} (A+A  ^{T} )$이 있고 A대신에 $\frac{1}{2} (A+A  ^{T} )$을 사용하여 definite matrix를 항상 symmetric으로 가정할 수 있다.

 

<sylvester's criterion>

 

1) Hermitian matrix A가 positive definite일 필요충분조건은 A의 $1 \times 1$ upper left minor가 양수이고 $2 \times 2$ upper left minor가 양수이고 $3 \times 3$ upper left minor가 양수이고.... $n \times n$ upper left minor(=행렬 A)가 양수이다.

 

2) 비슷하게 모든 upper left minor가 음이 아니면 Hermitian matrix A는 positive semi definite이다.

 

<주요 성질>

 

1) A가 Hermitian matrix이면 모든 eigenvalue는 실수이다. 이 때, 모든 eigenvalue가 양수인 것은 A가 positive definite인 것과 필요충분조건이다.

 

2) 비슷하게 모든 eigenvalue가 음수인 것은 A가 negative definite인 것과 필요충분조건이고 음이 아닌 것은 positive semi definite와 필요충분조건이고 양이 아닌 것은 negative semi definite와 필요충분조건이다.

 

3) 행렬 A가 positive definite이면 모든 main diagonal 원소는 양수이고 determinant도 양수이다. positive semi definite이면 모든 main diagonal 원소는 음이 아니고 determinant는 0이다.

 

4) 모든 원소가 실수인 행렬 A에 대하여 $A  ^{T} A$나 $AA  ^{T}$는 positive definite matrix이거나 positive semidefinite matrix이다.

 

A가 invertible인 것은 $A  ^{T} A$나 $AA  ^{T}$이 positive definite matrix인 것과 필요충분조건이다.

 

일반적으로 A가 full column rank matrix이면  $A  ^{T} A$는 positive definite matrix인 것과 필요충분조건이 되고 그렇지 않으면 positive semi definite matrix가 된다.

 

반면 A가 full row rank matrix이면 $AA  ^{T}$이 positive definite matrix인 것과 필요충분조건이고 그렇지 않으면 positive semi definite matrix가 된다.

 

2. triangular matrix

 

<정의>

 

주어진 square matrix의 main diagonal의 위에 있는 원소들이 모두 0인 행렬을 lower triangular matrix라고 부르고 아래에 있는 원소들이 모두 0인 행렬을 upper triangular matrix라고 부릅니다.

 

예를 들어 $A=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\ 
2 & 2 & 0\\ 
5 & 7 & 3
\end{pmatrix}$은 lower triangular matrix이고 $A=\begin{pmatrix}
1 & -2 & 3\\ 
0 & 2 & 7\\ 
0 & 0 & 3
\end{pmatrix}$은 upper triangular matrix가 됩니다.

 

<주요 성질>

 

1) triangular matrix와 diagonal matrix의 eigenvalue는 정확하게 main diagonal의 원소들과 같습니다.

 

2) triangular matrix와 diagonal matrix의 determinant는 main diagonal의 원소들의 곱과 같습니다.