선형대수학 기본 용어 -상급자편 1-

1. linearly independent

 

<정의>

 

n개의 0이 아닌 vector $v  _{1},v  _{2} ,...,v  _{n}$의 linear combination은 scalar $a  _{1} ,a  _{2} ,...,a  _{n}$에 대하여 $$\sum _{i=1} ^{n} a  _{i} v  _{i} =a  _{1} v  _{1} +a  _{2} v  _{2} + \cdots +a  _{n} v  _{n}$$을 말한다.

 

이때 0이 아닌 vector $v  _{1},v  _{2} ,...,v  _{n}$가 linearly dependent라는 것은 linear combination $a  _{1} v  _{1} +a  _{2} v  _{2} + \cdots +a  _{n} v  _{n}=0$을 만족시키는 적어도 하나가 0이 아닌 scalar $a  _{1} ,a  _{2} ,...,a  _{n}$가 존재한다는 뜻이다.

 

반대로 $a  _{1} v  _{1} +a  _{2} v  _{2} + \cdots +a  _{n} v  _{n}=0$을 만족시키는 scalar가 오직 $a  _{i} =0, \; i=1,2,3,...,n$일 때 $v  _{1},v  _{2} ,...,v  _{n}$이 linearly independent라고 부른다.

 

<주요 성질>

 

1) $v  _{1},v  _{2} ,...,v  _{n}$중 적어도 하나가 zero vector이면 $v  _{1},v  _{2} ,...,v  _{n}$은 반드시 linearly dependent합니다.

 

2) linear dependent이면 적어도 하나의 scalar가 0이 아니므로 그러한 scalar를 계수로 가지는 벡터는 다른 벡터들의 linear combination으로 표현할 수 있다.

 

즉 $a  _{1} \neq 0$이면 $a  _{1} v  _{1} =-a  _{2} v  _{2} -a  _{3} v  _{3} -\cdots-a  _{n} v  _{n}$이고 이로부터 $$v  _{1} = \sum _{i=2} ^{n} - \frac{a  _{i}}{a  _{1}} v  _{i}$$

 

3) linear dependent이면 적어도 2개의 scalar는 0이 아니다. 왜냐하면 단 하나의 scalar만 0이라면 모두 0이 되는 모순이 생기기 때문이다.

 

4) 주어진 행렬이 $v  _{1},v  _{2} ,...,v  _{n}$를 column(혹은 row)을 가질 때 linear independent일때만 행렬이 역행렬을 가진다.

 

그러니까 행렬의 열들이 linear dependent이면 determinant가 0이다.

 

5) 차수 n인 n개의 linear independent인 $v  _{1},v  _{2} ,...,v  _{n}$이 있을 때 같은 차수 n인 어떠한 벡터도 $v  _{1},v  _{2} ,...,v  _{n}$의 linear combination으로 표현할 수 있다.

 

6) 차수 n인 linear independent인 벡터의 최대 개수는 n이다.

 

4)에 의해 아무리 linear combination으로 벡터를 생성하더라도 linear independent가 될 수 있는 벡터들의 최대 개수는 n개까지라는 것이다.

 

7) 행렬에서 linear independent인 행의 수와 열의 수는 같다.

 

8) 두 벡터가 서로 직교하면 두 벡터는 linear independent이다.