벡터(vector)의 정의와 기본 연산

1. 정의

 

공간 상에서 하나의 점

 

그림1. 왼쪽부터 1차원 공간(수직선)상 하나의 점 x, 2차원 공간 (x,y), 3차원 공간 (x,y,z) 

 

일반적으로 n차원 공간상의 하나의 점 x는 $$x=(x_{1}, x_{2}, ... , x_{n})$$

 

 

2. 기하학적 의미

 

벡터는 원점으로부터 상대적인 위치

 

보통 그림으로 방향과 함께 화살표로 표시한다

 

그림2. 2차원 공간 상 하나의 벡터를 표현한 그림

 

3. 스칼라곱

 

벡터에 숫자를 곱한 스칼라곱은 벡터의 길이만 변화시킨다.

 

스칼라 a가 음수이면 방향을 바꾼다

 

$$ax = \begin{pmatrix}ax_{1} \\ax_{2} \\\vdots \\ax_{n}\end{pmatrix}$$

 

그림3. 스칼라 a의 크기에 따른 벡터 변화

 

 

4. 덧셈과 뺄셈

 

두 벡터의 크기가 같으면 대응하는 원소끼리 덧셈, 뺄셈이 가능하다.

 

$$x\pm y = \begin{pmatrix}x_{1}\pm y_{1} \\x_{2}\pm y_{2} \\\vdots \\x_{n}\pm y_{n}\end{pmatrix}$$

 

 

5. hadamard product

 

두 벡터의 크기가 같으면 대응하는 원소끼리 곱셈을 할 수 있는데 이렇게 곱하는 방법을 hadamard product 라고 한다.

 

$$x\bigodot y = \begin{pmatrix}x_{1}y_{1} \\x_{2}y_{2} \\\vdots \\x_{n}y_{n}\end{pmatrix}$$

 

 

6. 벡터의 덧셈의 기하학적 의미

 

벡터 x는 x=0+x이므로 원점에서 x까지의 이동이라고 생각할 수 있다

 

그림4. 벡터 x에 대한 기하학적 해석

 

그림5. 벡터 덧셈의 기하학적 의미

 

벡터 x에 y를 더하는 것은 벡터 x가 원점에서 점 x까지 화살표를 이으는 것인데

 

출발점인 원점을 y로 옮기고 방향과 크기를 그대로 이으면 된다.

 

 y로 가고 x방향으로 가서 원점과 이으면 그것이 y+x방향 벡터

 

 

7. 벡터 뺄셈의 기하학적 의미

 

y-x는 y와 -x의 합이다

 

그런데 그냥 그림을 잘 받아들이면 충분할것 같은데?

 

y-x는 뒤에 있는 (x)에서 앞에 있는 (y)을 이으면 된다.

 

그림6. 벡터 뺄셈의 기하학적 의미