1. rank 주어진 행렬의 linear independent인 행의 수를 row rank, linear independent인 열의 수를 column rank라고 부릅니다. linear algebra에서 가장 중요한 결과 중 하나는 row rank와 column rank가 항상 같다는 것으로 그래서 둘 중 하나를 행렬의 rank라고 부릅니다. 기호로 보통 $r _{A} =r(A)=rank(A)$라고 표시합니다. 1) square matrix $A _{nn}$의 rank가 n이면 full rank를 가진다고 하고 모든 행이나 열이 linear independent하다고 부르며 $A _{nn}$이 invertible인 것과 필요충분조건이다. 2) square matrix가 아닌 경우 $A _{pq}$에서 ..
1. linearly independent n개의 0이 아닌 vector $v _{1},v _{2} ,...,v _{n}$의 linear combination은 scalar $a _{1} ,a _{2} ,...,a _{n}$에 대하여 $$\sum _{i=1} ^{n} a _{i} v _{i} =a _{1} v _{1} +a _{2} v _{2} + \cdots +a _{n} v _{n}$$을 말한다. 이때 0이 아닌 vector $v _{1},v _{2} ,...,v _{n}$가 linearly dependent라는 것은 linear combination $a _{1} v _{1} +a _{2} v _{2} + \cdots +a _{n} v _{n}=0$을 만족시키는 적어도 하나가 0이 아닌 scalar..
1. definite matrix 임의의 0이 아닌 벡터 $x \in R ^{n}$에 대하여 $x ^{T} Ax>0$이면 행렬 A를 positive definite matrix라고 부른다. 모든 $x \in R ^{n}$에 대하여 $x ^{T} Ax \geq 0$이면 행렬 A를 positive semi-definite matrix라고 부른다. 반대로 임의의 0이 아닌 벡터 $x \in R ^{n}$에 대하여 $x ^{T} Ax
1. eigenvalue 행렬 $A$에 대하여 등식 $Au= \lambda u$을 만족시키는 어떤 실수 $\lambda$를 $A$의 eigenvalue라 부르고 이에 대응하는 벡터 $u$를 eigenvector라고 부릅니다. $A _{nn}$의 eigenvalue는 n개가 존재하는데 각각의 eigenvalue에 대하여 대응하는 eigenvector는 무수히 많을 수 있습니다. $Au= \lambda u$를 생각하면 eigenvector $u$는 선형변환 $A$에 의해 변환을 하더라도 단순히 길이만 변하거나 방향이 반대만 되는 벡터를 의미합니다. 1) A의 eigenvalue의 곱은 A의 determinant와 같습니다. $$det(A)= \prod _{i=1} ^{n} \lambda _{i}$$ 2) A..
square matrix의 어떤 특성을 나타내주는 하나의 scalar value로 mapping하는 함수를 말합니다. 구체적으로 determinant가 0이 아니라는 것은 주어진 square matrix가 invertible이라는 것과 동치가 됩니다. 행렬 $A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}$가 주어질 때 기호로 $$det(A)=\left | A \right |=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots &..
1. matrix 정의 1-1) 위키피디아에서는 행렬을 행과 열에 수나 기호 수식 등을 나열한 직사각형의 배열이라고 정의하고 있습니다. 예를 들어 $\begin{pmatrix} 1 & 9& -13\\ 20 & 5& 16 \end{pmatrix}$ 1-2) m개의 행과 n개의 열을 가지는 행렬 A는 수학적으로 $A _{mn} = \left \{ a _{ij} \right \}$라고 표현합니다. 여기서 $a _{ij}$는 행렬 A의 $i$번째 행에 있고 동시에 $j$번째 열에 위치하는 원소를 의미합니다. 명백하게 행과 열의 수를 알 수 있다면 $A = \left \{ a _{ij} \right \}$으로 행,열의 수를 생략하기도 합니다. $a _{ij} $는 간혹 $A[i,j]$나 $A _{i,j}$등등으로..
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