1. 전치행렬 전치행렬(transpose)은 행과 열의 index를 서로 뒤바꾼 행렬 2. 행렬의 기본 수학연산 같은 차원을 가지는 두 행렬은 대응하는 성분끼리 연산이 가능하다 3. 행렬의 곱셈 행렬의 일반적인 곱셈은 조금 특이하게 정의된다. 두 행렬 $X,Y$의 행렬곱 $XY$는 $X$의 열의 수와 $Y$의 행의 수가 같을 때 정의되고 $X$의 $i$번째 행벡터와 $j$번째 열벡터의 내적을 성분으로 갖는다. 행렬의 곱셈은 교환법칙이 성립하지 않는다 numpy array에서 두 행렬의 곱은 @연산자를 활용 import numpy as np X = np.array([[1,-2,3],[7,5,0],[-2,-1,2]]) Y = np.array([[0,1],[1,-1],[-2,1]]) X@Y ##matrix p..
1. 행렬의 정의 벡터를 원소로 가지는 2차원 배열이다. $n \times m$행렬 $X$는 다음과 같이 간단하게 나타낼 수 있다. $$X= \left ( x_{ij} \right )$$ 여기서 $i$는 행 인덱스, $j$는 열 인덱스 $x_{ij}$는 행렬 $X$의 $i$번째 행의 $j$번째 열에 있는 원소 2. 행렬의 분할 $i$번째 행을 기준으로 (빨간색 부분) 행벡터 분할하여 $n \times 1$행렬처럼 다룰 수도 있게 된다 행렬의 $j$열을 기준으로 열벡터 분할하여 $1 \times m$ 행렬처럼 다룰 수 있게 된다 3. 행렬의 기하학적 의미 벡터가 공간 상 하나의 데이터를 나타낸다면, 행렬은 공간 상 여러개의 데이터를 하나로 묶어서 표현한 것이다
1. 내적의 기하학적 의미 1-1) 정사영(projection) 위의 그림에서 벡터 a를 x의 정사영이라고 부른다 (projection) 1-2) 정사영의 길이 삼각함수 cos을 이용하여 위와 같이 정사영의 길이를 쉽게 구할 수 있다. 1-3) 두 벡터의 유사도 그렇다면 x,y의 내적은 x의 정사영벡터 크기에 벡터 y의 길이를 곱한 것이 된다. 그러므로 우리는 내적을 두 벡터 x,y의 유사도 측정에 사용할 수 있을 것 같다. 두 벡터가 비슷할수록 정사영의 길이가 커서 내적도 크다 두 벡터가 비슷할수록 두 벡터가 이루는 각의 크기가 작다(cosine 값이 크다) 두 벡터의 내적이 클수록 두 벡터가 그만큼 유사하다는 것 내적이 크다는 것은 두 벡터가 이루는 각이 작아야한다는 뜻임 두 벡터는 두개의 데이터로 ..
1. 두 벡터 사이의 거리 벡터의 뺄셈을 이용 두 벡터 $x$ , $y$의 거리는 두 벡터의 뺄셈 $x-y$의 norm과 같다 2. 두 벡터 사이의 각도 L2 norm 에서만 정의됨 2-1) n차원에서 정의한 the law of cosines 위 그림에서 아래 등식이 성립하는데 코사인 법칙이라고 부른다. 참고로 우리나라만 제1,2코사인법칙을 나눈다 세계적으로는 위와 같은 등식을 코사인법칙이라 한다 2-2) 두 벡터의 내적(dot product) 대응하는 성분의 곱의 합 cosine을 이용하여 구할 수도 있다. 그림2에서 c의 값은 두 벡터 a와 b의 뺄셈 a-b의 norm으로 구할 수 있고 코사인법칙과 \[a\cdot b = \left\| a \right\|\left\| b \right\|cos\thet..
벡터의 norm은 벡터 사이 거리로 정의된다. 그런데 벡터 사이 거리를 어떻게 정의할까? 일반적으로 유클리드 거리를 생각하지만 사실 거리를 정의하는 방법은 다양하다 임의의 n차원에서 거리를 정의한다는 것이 중요하다. 첫번째는 L1 norm, 두번째는 L2 norm이라고 부른다 1. L1 norm의 기하학적인 의미 L1 norm이란 원점에서 x까지의 거리를 위 그림에서 빨간 선분의 총 길이로 정의하는 것이다. 2. L2 norm의 기하학적 의미 L2 norm은 x까지의 거리를 위와 같이 직선거리로 정의하는 것이다. 3. norm에 따른 원 원은 원점에서 거리가 r인 점의 집합이라는 사실로부터 3-1) L1 norm을 사용한 원 robust 방법, lasso 회귀 등에서 사용 3-2) L2 norm을 사용한..
1. 정의 공간 상에서 하나의 점 일반적으로 n차원 공간상의 하나의 점 x는 $$x=(x_{1}, x_{2}, ... , x_{n})$$ 2. 기하학적 의미 벡터는 원점으로부터 상대적인 위치 보통 그림으로 방향과 함께 화살표로 표시한다 3. 스칼라곱 벡터에 숫자를 곱한 스칼라곱은 벡터의 길이만 변화시킨다. 스칼라 a가 음수이면 방향을 바꾼다 $$ax = \begin{pmatrix}ax_{1} \\ax_{2} \\\vdots \\ax_{n}\end{pmatrix}$$ 4. 덧셈과 뺄셈 두 벡터의 크기가 같으면 대응하는 원소끼리 덧셈, 뺄셈이 가능하다. $$x\pm y = \begin{pmatrix}x_{1}\pm y_{1} \\x_{2}\pm y_{2} \\\vdots \\x_{n}\pm y_{n}\end..
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