삼각형의 내접원의 반지름과 방접원의 반지름의 관계식

방접원과 내접원의 반지름을 이용한 관계식과 헤론의 공식 유도 : 네이버 블로그 (naver.com)

방접원과 내접원의 반지름을 이용한 관계식과 헤론의 공식 유도

 

 

1. 방접원의 성질

 

접선의 길이는 서로 같기 때문에 CE = CH이고 BH = BD이고 AD = AE이다.

 

그러므로 삼각형 ABC의 둘레는 2(x+y+z)가 된다.

 

 

 

 

여기서 BP = y'이고 CQ = z'이라고 하자.

 

 

 

원의 접선, 원의 접선의 길이 – 수학방 (mathbang.net)

원의 접선, 원의 접선의 길이

 

 

당연하게도 원 밖의 한 점 C에서 방점의 접선 CQ = CH'이고 B에서 BP = BH'인데.. 왜 그런지 잠깐만 생각해보면

 

방심을 O라 하고 H', P까지의 거리는 방접원의 반지름으로 같다

 

그리고 방심과 접선이 이루는 각 BPO는 90'이고 BH'O도 90'이다.

 

그리고 빗변 BO가 서로 같다.

 

따라서 초록색 삼각형 BOP와 BOH'은 RHS 합동이다

 

직각삼각형은 빗변이 서로 같고 한 예각의 크기가 서로 같으면 합동(RHA합동)

 

혹은 빗변이 서로 같고 다른 한 변의 길이가 서로 같으면 합동(RHS 합동)

 

직각삼각형의 합동, 직각삼각형의 합동 조건 – 수학방 (mathbang.net)

직각삼각형의 합동, 직각삼각형의 합동 조건

 

따라서 다음과 같은 항등식을 얻는다

 

BC = BH' + H'C = BH + CH

 

이 때 BC = y+z이고, BH' + CH' = y'+z'

 

따라서, y+z = y'+z'

 

다음 점 A에서 방심까지 하나의 직선을 그어 다음과 같은 그림을 만들어보자.

 

참고로 "점 A, 내심, 방심은 한 직선위에 있다는 성질이 있다"

 

 

 

방심을 O라고 하면 AOQ와 AOP는 서로 RHS합동이다.

 

그러므로 AP = AQ이다.

 

따라서, x+z+y' = x+y+z'

 

첫번째 식 y+z = y'+z'과 비교해보면...

 

$$y' - z' = y - z$$

 

$$y' + z' = y + z$$

 

따라서, 연립하면 y = y'이고 z = z'이다.

 

 

 

삼각형의 변의 길이가 각각 a,b,c라면 삼각형의 둘레는 a+b+c = 2(x+y+z)

 

여기서 $$ s = \frac{a+b+c}{2} = x+y+z $$ 라고 하자.

 

 

 

 

이때 내심을 I라 하고 방심을 O라 하면 OAP와 IAD는 서로 AA닮음이다.

 

왜냐하면 IAD = OAP이고 IDA = OPA = 90'이기 때문이다.

 

그러므로 ID : IP = AD: AP

 

여기서 ID = (내접원의 반지름) = r , IP = 방접원의 반지름 = $r_{a}$

 

AD = x이고 AP = x+y+z이다.

 

그러므로 r(x+y+z) = $xr_{a}$

 

그런데, y+z = a이다. (변 BC의 길이)

 

따라서, $$\frac{r}{r_{a}}= \frac{s - a}{s}$$ 

 

CA에 접하는 방접원에서도 다음과 같은 식이 유도될 것이다.

 

$$r: r_{b} = z: x+y+z$$

 

여기서 x+y = b이므로...(선분 AC의 길이)

 

그러므로 $$\frac{r}{r_{b}} = \frac{s-b}{s}$$

 

그리고 AB에 접하는 방접원에서도...

 

$$r:r_{c} = y:x+y+z$$

 

여기서 x+z = c이므로... (선분 AB의 길이)

 

$$\frac{r}{r_{c}} = \frac{s-c}{s}$$

 

내접원의 반지름과 방접원의 반지름 $r_{a}$ , $r_{b}$, $r_{c}$의 세 관계식

 

$$\frac{r}{r_{a}}= \frac{s - a}{s}$$ 

 

$$\frac{r}{r_{b}} = \frac{s-b}{s}$$

 

$$\frac{r}{r_{c}} = \frac{s-c}{s}$$

 

전부 더한다면.... $\frac{r}{r_{a}}$ +  $\frac{r}{r_{b}}$ + $\frac{r}{r_{b}}$ = $\frac{3s-a-b-c}{s}$

 

$ s = \frac{a+b+c}{2} = x+y+z $가 성립하므로... $\frac{3s-a-b-c}{s} = 1$

 

그러므로.. $\frac{r}{r_{a}}$ +  $\frac{r}{r_{b}}$ + $\frac{r}{r_{b}}$ = 1

 

양변을 내접원의 반지름 r로 나눈다면...

 

$$\frac{1}{r_{a}} + \frac{1}{r_{b}} + \frac{1}{r_{c}} = \frac{1}{r}$$

 

방접원의 세 반지름 각각의 역수의 합은 내접원의 반지름의 역수와 같다

 

 

2. 연습문제

 

16481번: 원 전문가 진우 (acmicpc.net)

16481번: 원 전문가 진우

 

3. 풀이

 

위에서 얻은 최종 식, "내접원의 반지름의 역수는 세 방접원의 반지름의 역수의 합과 같다"에 대입하여 내접원의 반지름을 구한다

 

from sys import stdin

r1,r2,r3 = map(int,stdin.readline().split())

print(1/(1/r1 + 1/r2 + 1/r3))