기하학 알고리즘의 기본 - 두 벡터의 외적(cross product)에 대하여

https://gaussian37.github.io/math-la-cross-product/

벡터의 외적이란?

 

https://cp-algorithms.com/geometry/basic-geometry.html#definition_1

Basic Geometry - Algorithms for Competitive Programming

 

https://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product

Cross product - Wikipedia

 

1. 외적(cross product)

 

The cross product a × b is defined as a vector c that is perpendicular (orthogonal) to both a and b

 

두 벡터 a,b에 대하여 동시에 수직인 벡터 $c = a \times b$

 

The cross product of two vectors a and b is defined only in three-dimensional space and is denoted by a × b.

 

내적(inner product)은 모든 차원에서 정의되지만, 외적(cross product)은 오직 3차원에서만 정의된다.

 

 

2. 외적의 방향

 

3차원 공간 위에 두 벡터 a,b가 존재할때, 두 벡터에 동시에 수직인 벡터는 위로 향하는 벡터와 아래로 향하는 벡터가 있다

 

 

 

두 벡터 a,b가 주어질때, 외적의 방향은 오른손 법칙을 이용해 알아낼 수 있다

 

앞에 곱하는 a를 검지에, 뒤에 곱하는 b를 중지에 두고,

 

오른손의 엄지손가락이 가리키는 방향이 외적 $a \times b$의 방향 

 

 

 

3. 외적을 구하는 방법

 

행렬식 표현으로 구하는게 가장 무난하다

 

a = (a1,a2,a3), b = (b1,b2,b3)라고 표현할 수 있을때,

 

$$a \times b =  \begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
a_{1} & a_{2} & a_{3} \\
b_{1} & b_{2} & b_{3} \\
\end{vmatrix}$$

 

행렬식을 계산하는 방법을 기억해보면... 먼저 아무 행이나 하나 지정하고.. 1행이 (1,1,1)이니까 이를 지정하는게 가장 무난하다

 

먼저, 1행 1열의 원소 1을 지정하면, 행렬식에서 1행, 1열을 제거하고 남은 minor에 (1,1) 원소를 곱하고, $(-1)^{1+1}$을 곱해

 

 

 

2*2 행렬식을 구하는 방법은 $$\begin{vmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{vmatrix} = ad-bc$$라는 것은 기본적으로 알고 있다

 

두번째 (1,2) 원소를 지정하고, 1행 2열을 제거한 minor를 곱하고, $(-1)^{1+2}$를 곱해서...

 

 

마지막 (1,3) 원소를 지정하고, 1행 3열을 제거한 minor를 곱한 다음, $(-1)^{1+3}$을 곱해주자..

 

 

파이썬으로 구현하면 다음과 같다.

 

def cross_product(a,b):
    
    return (a[1]*b[2] - a[2]*b[1]) - (a[0]*b[2] - a[2]*b[0]) + (a[0]*b[1] - a[1]*b[0])

 

기억이 안난다면 위 행렬식 표현 그림을 기억하면서, 구하면 되겠지..

 

 

4. 반드시 알아야하는 기본 성질

 

증명은 모두 생략함

 

1) 두 벡터의 연산 순서를 교환하면, -1을 곱해줘야한다.

 

$$a \times b = - b \times a$$

 

 

2) 두 벡터의 외적이 영벡터이면, $a \times b = 0$이라면,

 

2-1) 두 벡터중 적어도 하나는 영벡터이다. $a = 0$이거나, $b = 0$이다.

 

2-2) 그런데, 둘 다 영벡터가 아니라면, 두 벡터는 서로 평행하다.

 

 

 

3) 두 벡터의 외적의 크기는, 두 벡터가 이루는 각 $\theta$에 대하여,

 

$$| a \times b | = | a | | b | sin \theta$$

 

기하학적으로, 두 벡터 a,b가 이루는 평행사변형의 넓이와 같다.

 

 

따라서, 외적의 크기의 절반이, 두 벡터가 이루는 삼각형의 면적과 같다.

 

신발끈 공식은 위의 원리에서 나왔다.

 

https://deepdata.tistory.com/733

평면 상의 다각형의 넓이 구하는 신발끈 공식 구현

 

5. 내적과 외적의 관계식

 

두 벡터 a,b가 이루는 각이 $\theta$라고 할 때,

 

1) 두 벡터의 내적 $a·b = |a||b|cos \theta$

 

2) 두 벡터의 외적 $|a \times b| = |a||b| sin \theta$

 

3) $(|a \times b|)^{2} = |a|^{2} |b|^{2} - (a · b)^{2}$

 

 

6. 2차원에서의 외적

 

벡터의 외적이 3차원에서만 정의된다고 했지만, 2차원 위의 두 점 a = (a1,a2), b = (b1,b2)의 외적은 어떻게 구할까?

 

이는 a = (a1,a2,0), b = (b1,b2,0)의 외적과 같다.

 

2차원 평면 위의 점 a,b는 z축 좌표를 0으로 고정시킨 3차원 위의 점과 같기 때문이다.

 

 

7. 세 벡터가 이루는 육면체의 부피

 

다음과 같은 육면체의 부피는 어떻게 구할 수 있을까

 

 

결론부터 말하면, $$V = | a · (b \times c) |$$

 

육면체의 부피는, 밑면의 넓이 base에 높이 h를 곱한 값이다.

 

밑면의 넓이 base는 $b \times c$의 크기가 된다.

 

높이 h는 벡터 a에 $cos \alpha$를 곱한 값으로 구할 수 있다.

 

두 벡터의 내적이, $|a · b| = |a| |b| cos \alpha$로 구할 수 있으므로, 

 

$$V = |a| cos \alpha |b \times c| = |a| |b\times c| cos \alpha = |a · (b \times c)|$$