나비 정리(butterfly theorem)

1. 나비정리

 

현 PQ의 중점 M을 지나는 두 현 AB와 CD가 있고, 현 AD, CB가 PQ와 만나는 점이 X,Y이면, M은 XY의 중점이기도 하다.

 

 

 

2. 증명

 

증명이 매우 많은데 하나만 따라가보자

 

[증명] 나비 정리 (The Butterfly Theorem) - 몇 가지 다른 방법 : 네이버 블로그 (naver.com)

[증명] 나비 정리 (The Butterfly Theorem) - 몇 가지 다른 방법

 

 

아래 그림에서 현 AB의 수직 이등분선이 원과 만나는 점을 각각 C,D라고 하자.

 

 

현의 수직이등분선은 원의 중심 O를 지난다는 성질이 있다

 

현의 수직이등분선 – 수학방 (mathbang.net)

현의 수직이등분선

 

 

아무튼 지름 CD에 대해 R을 선대칭한 점이 T라고 한다면... 대칭이므로 삼각형 MRT는 이등변삼각형이 된다.

 

그래서 MR = MT이고 각 MRT = MTR이다.

 

그런데 AB와 RT가 CD에 수직인 현이므로 서로 평행하고 각 AMR = MRT이며, 각 BMT = MTR이다.

 

그림에서 SRTQ는 원에 내접하는 사각형이므로, 서로 대각 SRT + SQT = 180'

 

원의 내접사각형은 서로 마주보는 대각의 합이 180도이다.

 

역도 성립함

 

원에 내접하는 사각형의 성질, 내대각 – 수학방 (mathbang.net)

원에 내접하는 사각형의 성질, 내대각

 

여기서, 각 YMT = MTR = MRT이므로, YMT와 YQT의 합도 180'

 

그러므로 사각형 YMTQ는 원에 내접하는 사각형이다.

 

원주각의 성질에 의해, 각 PRS와 PQS가 서로 같다.

 

그런데, 원주각 MTY와 MQY도 서로 같다.

 

 

 

정리하면 위와 같다.

 

삼각형 XRM과 삼각형 YMT를 보면, 각 XRM = 각 YTM이며, 변 MR = MT이고, 각 XMR = YMT이므로 

 

삼각형 XRM과 YMT는 ASA합동이다.

 

따라서 XM = YM

 

3. 문제

 

16484번: 작도하자! - ① (acmicpc.net)

16484번: 작도하자! - ①

 

from sys import stdin

n,d = map(int,stdin.readline().split())

print(f"{n/2 - d:.1f}")