스튜어트의 정리(Stewart's theorem)

1. 스튜어트의 정리

 

삼각형에서 다음이 성립한다

 

 

 

2. 증명

 

각 APC를 $\theta$라고 하자.

 

 

삼각형 APC에서 제2코사인법칙에 의해 $$c^{2} = d^{2} + m^{2} -2dm cos \theta$$

 

한편 삼각형 APB에서 제2코사인법칙에 의해, $$b^{2} = d^{2} + n^{2} - 2dn cos (\pi - \theta)$$

 

여기서 $cos (\pi - \theta) = -cos \theta$을 두번째 식에 대입하자 

 

첫번째 식에 n을 곱하고 두번째 식에 m을 곱해서 더하면

 

$$mb^{2} + nc^{2} = md^{2} + mn^{2} + 2dmncos \theta + nd^{2} + nm^{2} - 2dmn cos \theta$$

 

우변을 계산하면,

 

$$mb^{2} + nc^{2} = md^{2} + mn^{2} + nd^{2} + nm^{2} = (m+n)(d^{2} + mn)$$

 

3. 연습문제

 

16488번: 피카츄가 낸 어려운 문제 (acmicpc.net)

16488번: 피카츄가 낸 어려운 문제

 

4. 풀이

 

그림을 그려보면 대충 이렇다

 

 

$F(1) = d_{1}^{2} + m_{1}n_{1}$, ... , $F(k) = d_{k}^{2} + m_{k}n_{k}$

 

스튜어트의 정리에 의해, $$(d_{1}^{2} + m_{1}n_{1})(m_{1} + n_{1}) = m_{1}N^{2} + n_{1}N^{2} = N^{2}(m_{1}+n_{1})$$

 

따라서,  $$(d_{1}^{2} + m_{1}n_{1}) = N^{2}$$

 

이는 모든 K  = 1,2,3,...에 대해 성립한다

 

그러므로 $N^{2}$을 K배 하면 문제의 답이 될 것

 

from sys import stdin

n,k = map(int,stdin.readline().split())

print(k*(n**2))