gaussian elimination을 이용한 연립방정식의 해법

1. 3원 1차 연립방정식 미지수가 3개이고 각 미지수에 대해 차수가 모두 1차 방정식으로 이루어진 연립방정식은 3*3 matrix를 이용하여 표현할 수 있다   만약 행렬 A의 역행렬이 존재한다면 유일한 해 $x = A^{-1}b$를 이용해 구할 수 있다.  2. gaussian elimination 주어진 행렬의 rank를 구하는 방법 기본 행연산(elementary row operation)을 이용하여 주어진 행렬을 row echelon form으로 변환시키면 rank를 구할 수 있다 row echelon form이란  elementary operation을 통해서 1) 모든 원소가 0인 행(열)은 전부 밑에 존재 하고  2) 0이 아닌 원소가 있는 행(열)의 경우 가장 왼쪽에 있는 원소가 바로 위..

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• · 2024. 6. 15.
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무어-펜로즈 역행렬(Moore–Penrose pseudoinverse matrix)

1. 무어펜로즈 역행렬(Moore–Penrose pseudoinverse matrix) 역행렬이 존재하지 않는 경우 대안으로 무어-펜로즈 역행렬을 생각할 수 있다. 행의 수와 열의 수에 따라 구하는 방식이 다르다 역행렬처럼 되돌리는 연산이 가능하다 np.linalg.pinv()는 무어 펜로즈 역행렬을 구해준다 2. 연립방정식의 해법 연립방정식은 행렬의 선형변환을 이용해 간단히 나타낼 수 있다. 연립방정식은 일반적으로 식의 수와 변수의 수가 동일할 때 정확히 하나의 해를 갖지만 식의 수가 변수의 수보다 적거나 같으면 해가 무수히 많을 수 있다. 2-1) 무어펜로즈 역행렬을 이용한 해법 해가 무수히 많은 경우 무어 펜로즈 역행렬을 이용하여 무수히 많은 해 중 하나의 해를 구할 수 있다 2-2) 선형회귀분석에..

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• · 2022. 1. 17.
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선형변환으로서의 행렬이 가지는 의미

1. 선형변환으로 생각하는 행렬 행렬은 벡터공간에서 두 데이터 사이 연결관계를 나타내는 연산자로 생각할 수도 있다. (선형변환) 벡터 $x$에 행렬 $A$를 곱하여 다른 차원의 벡터 $z$로 변환시킴 기계학습의 선형모델들은 위와 같은 선형변환 행렬곱을 이용해서 데이터 $x$의 패턴($z$)을 추출하거나 압축시킨다. 행렬 A의 연산을 거꾸로 되돌리는 행렬이 A의 역행렬 $A$의 역행렬은 $A$의 행과 열의 숫자가 같고 $A$의 행렬식이 0이 아니어야 존재한다 2. np.linalg.inv() numpy의 np.linalg.inv()는 역행렬이 존재하는 행렬의 역행렬을 구해준다 컴퓨터 연산 오차로 인해 자기 자신과 역행렬을 곱해보면 정확히 항등행렬이 나오진 않고 비슷한 값으로 나온다 X와 np.linalg...

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• · 2022. 1. 12.
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선형대수학 기본 용어 -상급자편 2-

1. rank 주어진 행렬의 linear independent인 행의 수를 row rank, linear independent인 열의 수를 column rank라고 부릅니다. linear algebra에서 가장 중요한 결과 중 하나는 row rank와 column rank가 항상 같다는 것으로 그래서 둘 중 하나를 행렬의 rank라고 부릅니다. 기호로 보통 $r _{A} =r(A)=rank(A)$라고 표시합니다. 1) square matrix $A _{nn}$의 rank가 n이면 full rank를 가진다고 하고 모든 행이나 열이 linear independent하다고 부르며 $A _{nn}$이 invertible인 것과 필요충분조건이다. 2) square matrix가 아닌 경우 $A _{pq}$에서 ..

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• · 2021. 11. 10.
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선형대수학 기본 용어 -중급자편 3-

1. adjugate matrix 주어진 square matrix A의 모든 원소를 대응하는 cofactor로 바꾸고 transpose한 행렬을 말합니다. 즉 $A _{nn} = \left \{ a _{ij} \right \}$에 대하여 $a _{ij}$의 cofactor $c _{ij} =(-1) \left \| M _{ij} \right \|$로 치환하여 만든 행렬 $C _{nn} = \left \{ c _{ij} \right \}$의 transpose $C ^{T} =adjA= \left \{ c _{ij} \right \} ^{T}$를 adjugate matrix라고 부릅니다. 이 행렬이 중요한 이유는 $A _{nn}$의 inverse matrix를 구하게 만들어줍니다. 즉 $A _{nn}$의 역..

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• · 2021. 11. 5.
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선형대수학 기본 용어 -초보자편 4-

1. diagonal matrix diagonal matrix는 main diagonal이 아닌 원소들이 모두 0인 행렬을 말합니다. main diagonal은 $i$번째 행에 위치하면서 동시에 $i$번째 열에 위치하는 $a _{ii}$의 원소들을 말합니다. 일반적으로 square matrix를 가정하지만 아닐 수도 있습니다. 그림5에서 빨간 선분은 main diagonal을 나타냅니다. main diagonal이 n개인 diagonal matrix는 기호로 보통 $diag(a _{1} ,a _{2} ,...,a _{n} )$으로 나타냅니다. 중요한 성질을 몇가지 나열하자면 1-1) determinant는 main diagonal의 원소들의 곱으로 구해집니다. 1-2) main diagonal의 모든 원..

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• · 2021. 10. 30.
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