증명하기 연습문제2
1. 진리표를 이용해서 항진명제임을 증명
(~p∨q)∨(p∧~q)
진리표를 그려보면 다음과 같다
p,q의 모든 경우에 True이므로 (~p∨q)∨(p∧~q)은 항진명제이다.
2. 진리표를 이용해 모순명제임을 증명
(p∧q)∧(p∧~q)
p,q의 모든 경우에 False이므로 (p∧q)∧(p∧~q)은 모순명제이다.
3. 다음 명제의 쌍들이 논리적으로 동등한지 진리표를 이용해 확인
~p∨~q와 ~(p∨q)
p,q의 어떤 경우에 대하여 위 그림과 같이 진리값이 서로 다르므로 ~p∨~q와 ~(p∨q)는 논리적으로 동등하지 않다
4. 명제식의 변형으로 다음 명제를 간소화
(p∨~q)∧(~p∨~q)
분배법칙으로부터 ~q를 이용해 묶으면 (p∨~q)∧(~p∨~q) = (p∧~p) ∨ (~q)
그런데 (p∧~p)는 p가 T이면 ~p는 F이고 T ∧ F = F이고 p가 F이면 ~p는 T이고 F ∧ T = F이므로 모순명제이다.
그러므로 (p∧~p) ∨ (~q)은 (~q)와 논리적으로 동등하다. 즉 (~q)의 진리값에 의해 결정된다.
(p∨~q)∧(~p∨~q) = (p∧~p) ∨ (~q) = F ∨ (~q) = ~q
5. 다음 명제가 참인지 확인하시오.
5-1) ∀x ∈Z, $x^{2} ≥ x$
$x^{2} ≥ x$는 $x(x-1) ≥ 0$로 변형될 수 있다.
모든 정수 x는 음의 정수, 0, 양의 정수 3가지 중 하나이다.
만약 x가 음의 정수이면 x < 0, x-1 < 0이므로 x(x-1) > 0이다.
만약 x가 0이면 x = 0, x-1 = -1이므로 x(x-1) = 0이다.
만약 x가 양의 정수이면 x > 0, x-1 ≥ 0이므로, x(x-1) ≥ 0이다.
따라서 모든 정수 x에 대하여 $x^{2} ≥ x$이다.
5-4) ∃x ∈ Z, $x^{2} < x$
$x^{2} < x$ 을 변형하면 $x(x-1) < 0$이다.
부등식을 풀면 $0<x<1$이다.
이 부등식에서 정수해는 존재하지 않으므로, $x^{2} < x$을 만족하는 어떠한 정수도 존재하지 않는다.
6. n이 홀수이면 $n^{2} + n$이 짝수임을 증명
모든 음이 아닌 정수 k에 대하여 n = 2k+1이라고 하자.
$n^{2} + n = (2k+1)^{2} + (2k+1) = 4k^{2} + 4k + 1 + 2k + 1 = 4k^{2} + 6k + 2 = 2(2k^{2}+3k+1)$
어떤 자연수 $2k^{2}+3k+1 = m$에 대하여 $n^{2} + n = 2m$으로 표현된다.
그러므로 n이 홀수이면