연속형확률변수 $X$의 확률밀도함수가 $f(x)$일 때 연속형 확률변수 $X$의 기댓값은 \[E(X)=\int_{}^{}xf(x)dx\] 이산형 확률변수 $X$의 확률질량함수가 $P(X=x)$일 때 기댓값은 \[E(X)=\sum_{}^{}xP(X=x)\] 확률변수 $X$의 함수 $g(X)$도 하나의 확률변수이고 그러므로 기댓값이 존재하는데 다음과 같은 식이 성립한다 $X$가 연속형이면 \[E(g(X))=\int_{}^{}g(x)f(x)dx\] $X$가 이산형이면 \[E(g(X))=\sum_{}^{}g(x)P(X=x)\] 이것을 무의식적인 통계학자의 법칙(Law Of The Unconscious Statistician, LOTUS)이라고 부른다. $X$의 기댓값을 구할 때 $X$의 확률함수를 이용해서 구했..
1. 목표 직사각형 안에 어떤 도형을 그려놓자. 빨간색 영역의 넓이는 얼마인지 알고 싶다. 2. 기본적인 원리 만약, 위와 같은 직사각형에서 임의의 난수를 하나 뽑는다고 하자. 그 난수가 빨간색 영역인 HIT에 들어갈 확률은 얼마인가? 직사각형의 넓이는 $c(b-a)$이고 빨간색 영역의 넓이를 $S$라고 하면, 기하학적 확률의 원리에 의해 $$p= \frac{(난수가 \; 목표로 \; 하는 \; 빨간색 \; 영역의 \; 넓이)}{(난수가 \; 있을 \; 수 \; 있는 \; 전체 \; 영역의 \; 넓이)} = \frac{S}{c(b-a)}$$ 그러나 $S$를 모른다는 것이 중요하다. 즉 우리는 p값도 알 수가 없다 그런데 $p$값을 다른 방법으로 추정해볼 수 있는데 위와 같은 직사각형 위에서 $N$개의 난..
우리가 가지고 있는 데이터 $x _{1},x _{2},...,x _{n}$는 어떠한 이상적인 확률분포를 따르는 확률변수 $X$의 관측값으로 생각할 수 있습니다. 그러나 이 확률변수 $X$의 100% 정확한 확률분포를 절대로 구할 수 없으며 그러한 확률분포를 추정하는 방법밖에 없습니다. 확률변수의 확률분포와 누적확률분포함수가 일대일대응한다는 것을 말씀드렸습니다. 만약 데이터 $x _{1},x _{2},...,x _{n}$를 가지고 확률변수 $X$의 누적확률분포함수를 추정할 수 있다면 데이터 $x _{1},x _{2},...,x _{n}$의 확률분포를 어느정도 알 수 있을 것입니다. 확률변수 $X$의 누적확률분포함수를 추정하는 가장 쉬운 방법으로 경험적 분포 함수인 empirical distribution ..
확률변수 X의 누적확률분포함수(cumulative distribution function)라는 것은 모든 실수 x에 대하여 $$F(x)=P(X \leq x)$$으로 정의되는 함수를 말합니다. 누적확률분포함수는 모든 확률변수에 대해 정의할 수 있으며 $$F(x)=P(X \leq x)$$로 하나의 확률이니까 어떠한 실수 x를 넣더라도 0과 1사이의 값을 가집니다. 그리고 그 이름에서도 알 수 있듯이 확률을 누적해서 더한다는 의미를 가져서 증가함수(increasing function)입니다. 일반적으로 알고 있는 normal distribution이나 uniform distribution이나 binomial distribution 같은 여러 분포들은 유일한 누적확률분포함수를 갖습니다. 무슨 말이냐면 누적확률분..
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