누적확률분포함수(cumulative probability distribution)에 대하여

확률변수 X의 누적확률분포함수(cumulative distribution function)라는 것은 모든 실수 x에 대하여 $$F(x)=P(X \leq x)$$으로 정의되는 함수를 말합니다.

 

누적확률분포함수는 모든 확률변수에 대해 정의할 수 있으며 $$F(x)=P(X \leq x)$$로 하나의 확률이니까 어떠한 실수 x를 넣더라도 0과 1사이의 값을 가집니다.

 

그리고 그 이름에서도 알 수 있듯이 확률을 누적해서 더한다는 의미를 가져서 증가함수(increasing function)입니다.

 

일반적으로 알고 있는 normal distribution이나 uniform distribution이나 binomial distribution 같은 여러 분포들은 유일한 누적확률분포함수를 갖습니다.

 

무슨 말이냐면 누적확률분포함수와 일반적으로 생각하는 ‘확률분포‘가 일대일 대응한다고 생각하면 좋습니다.

 

잠깐 $U(0,1)$의 누적확률분포함수를 구해봅시다.

 

$U(0,1)$의 확률밀도함수를 그래프로 그려보면

 

그림2. U(0,1)의 밀도함수 그래프

연속형 확률변수 $X$의 확률밀도함수 $f(x)$로부터 $$P(X \leq x)=  \int _{- \infty } ^{x} {f(y)dy}$$라는 것을 저희는 이미 배웠습니다.

 

$f(x)=1$이므로 적분을 하여 구하면 $P(X \leq x)=x$임을 알 수 있습니다.

 

그러므로 $U(0,1)$의 누적확률분포함수는 모든 실수 x에 대해서 $$F(x)=x$$으로 구해집니다.

 

물론 여기서 이상함을 느끼신 분은 그림만 보면 $0<x<1$인데 모든 실수 x가 어떻게 가능한지 궁금하실 수 있을 것 같습니다.

 

사실 $U(0,1)$의 확률밀도함수는 $f(x)=1$은 $0<x<1$에서만 성립하고 그 외에 다른 실수 x에 대해서는 $f(x)=0$입니다.

 

그런데 보통은 “그 외에 다른 실수 x에 대해서는 $f(x)=0$“ 은 너무 당연해서 언급을 하지 않습니다.

 

아무튼 모든 실수에 대해 성립하구나 라고 생각하면 좋습니다.