무의식적인 통계학자의 법칙(Law Of The Unconscious Statistician)

연속형확률변수 $X$의 확률밀도함수가 $f(x)$일 때 연속형 확률변수 $X$의 기댓값은

 

\[E(X)=\int_{}^{}xf(x)dx\]

 

이산형 확률변수 $X$의 확률질량함수가 $P(X=x)$일 때 기댓값은

 

\[E(X)=\sum_{}^{}xP(X=x)\]

 

확률변수 $X$의 함수 $g(X)$도 하나의 확률변수이고

 

그러므로 기댓값이 존재하는데 다음과 같은 식이 성립한다

 

$X$가 연속형이면

 

\[E(g(X))=\int_{}^{}g(x)f(x)dx\]

 

$X$가 이산형이면

 

\[E(g(X))=\sum_{}^{}g(x)P(X=x)\]

 

이것을 무의식적인 통계학자의 법칙(Law Of The Unconscious Statistician, LOTUS)이라고 부른다.

 

$X$의 기댓값을 구할 때 $X$의 확률함수를 이용해서 구했는데,

 

$X$의 함수인 $g(X)$도 하나의 확률변수로 기댓값을 구할 때 $g(X)$의 확률함수를 알아야 할 것 같지만

 

$X$의 확률함수만 알아도 기댓값 식에서 무의식적으로 $x$대신에 $g(x)$를 써서 구할 수 있다는 점에서 의미가 있다.