다항식의 곱으로 구하는 복수순열1 - 주어진 개수의 알파벳들만으로 만들 수 있는 문자열의 개수

E - Alphabet Tiles (atcoder.jp) E - Alphabet TilesAtCoder is a programming contest site for anyone from beginners to experts. We hold weekly programming contests online.atcoder.jp  대문자 알파벳 A,B,C,..,Z의 개수가 주어질때, 이들로 만들 수 있는 길이 1부터 k까지 모든 문자열의 개수를 구하는 문제 길이가 s일때, 각각 A,B,C,...,Z 문자가 a1,a2,a3,...,a26개 있다고 한다면.. 이들을 일렬로 배열하는 복수순열의 개수와 같으므로,  $$\frac{(a1+a2+a3+...+a26)!}{a1!a2!...a26!} = \frac{s!}{a1!..

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• · 2024. 6. 18.
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Fast Fourier Transform을 이용한 빠른 다항식 곱셈 공부하기

1. 두 다항식의 곱셈 다항식 $f(x) = a_{0}x^{0} + a_{1}x^{1} + ... + a_{n-1}x^{n-1}$과 $g(x) = b_{0}x^{0} + b_{1}x^{1} + ... + b_{n-1}x^{n-1}$의 곱셈은.. $f(x)g(x) = a_{0}b_{0}x^{0} + (b_{0}a_{1} + a_{1}b_{0})x^{1} + ... + a_{n-1}b_{n-1}x^{2n-2}$로 나타날 것이다. 다항식을 각각 계수만을 가진 길이가 n인 벡터 A = [a0,a1,...,an-1], B = [b0, b1, ... , bn-1]로 나타낸다고 할때, 두 다항식의 곱셈은 길이가 2n-1인 벡터 C = [c0,c1,...,c(2n-2)]로 나타나며, $$c_{i} = \sum_{j=0..

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• · 2023. 8. 29.
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키타마사 법(kitamasa method, きたまさ法)에 대한 공부

1. 키타마사 법(kitamasa method) 수열 $a_{n}$의 점화식을 이전의 몇개 항으로 정의한다면, 귀납적 정의, 재귀적 수열 등으로 부른다. $$a_{n} = \sum_{i = 1}^{k} w_{i}a_{n-i}$$ 이런 형태로 정의되는 대표적인 수열은 피보나치 수열이다. $$a_{n} = a_{n-1} + a_{n-2}, w_{1} = w_{2} = 1, k = 2$$ 이 피보나치 수열의 가장 빠른? 해법중 하나는 행렬을 이용하는 방법이다. https://deepdata.tistory.com/760 행렬을 이용한 피보나치 수열 문제의 해법 1. 피보나치 수열의 행렬 표현 피보나치 수열의 점화식은 다음과 같다. $a_{n+1} = a_{n} + a_{n-1}$ $a_{n} = a_{n} + ..

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• · 2023. 8. 27.
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다항식의 곱셈과 나눗셈 기본 컴퓨터 구현 방법 배우기

1. 다항식의 곱셈 두 다항식의 곱셈은 구현하는 방법이 많이 있지만... 당장은 어려우니 일단 $O(k^{2})$으로 naive하게 구현 해보자. 다항식은 각 항의 계수를 배열에 저장하면 되는데 $f(x) = 2x^{2} + x + 1$이라고 한다면, a = [1,1,2]로 저장하면 된다. 곱셈하고자 하는 다항식이 $g(x) = x + 5$라고 한다면 b = [5,1]이고 두 다항식의 곱셈은 $f(x)g(x) = 2x^{3} + 11x^{2} + 6x + 5$로 [5,6,11,2]가 나와야한다. f(x)가 len(a)-1차수 다항식이고 g(x)가 len(b)-1차수 다항식이면, f(x)g(x)는 len(a)+len(b)-2차수 다항식이다. 위에서 len(a) = 3, len(b) = 2이고 각각 2차 1..

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• · 2023. 8. 26.
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n차 다항식 함숫값 빠르게 계산하기(페르마의 소정리로 거듭제곱 빠르게 계산하기)

1. 문제 25025번: 다항식 계산 (acmicpc.net) 25025번: 다항식 계산 첫 번째 줄에 두 정수 $N$, $P$ ($0 ≤ N ≤ 10^6$, $1 ≤ P ≤ 10^3$, $P$는 소수)가 공백 하나로 구분되어 주어진다. 두 번째 줄에는 $N+1$개의 정수 $a_N$, $\cdots$, $a_1$, $a_0$ ($0 ≤ a_i ≤ 10^9$)가 공백 하나로 www.acmicpc.net 2. 풀이 결국에 구해야하는 값은 $a_{i}k^{i} mod P$이고 k와 P가 서로소이므로 페르마의 소정리를 이용할 수 있다. 그런데 1초안에 P개의 값을 계산해야하니 이거 쉽지 않다 계수는 최악의 경우 $10^{6}$개이고.. 매 함숫값마다 이들을 모두 순회해야하니.. $O(10^{9})$는 돌아야겠는..

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• · 2023. 7. 8.
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