원을 두 현으로 분할할때 길이를 구하는 방법 - power theorem(방멱 정리)

1. 문제

 

16478번: 원의 분할 (acmicpc.net)

16478번: 원의 분할

 

2. 방멱 정리(power theorem)

 

원 위에 두 현 AB, CD가 주어질때, 교차점이 P라고 한다면.. PA * PB = PC * PD라는 정리

 

 

(증명)

 

BC에 대한 원주각 CAB와 CDB가 서로 같고, 맞꼭지각으로 CPA, BPD가 서로 같기때문에,

 

삼각형 APC와 DPB는 서로 닮음이다.

 

 

닮음의 성질에 의해 PA:PD = PC:PB이고, 이를 정리하면 PA*PB = PC*PD

 

비슷하게.. 중고등학교때 자주쓰던 2가지 정리가 더 있다

 

오랜만에 보니까 기억이 새록새록

 

 

 

굳이 증명하자면 AC를 긋고 BD를 그어서 닮은 삼각형을 찾는 것이다.

 

 

 

 

역시 PAC와 PDB가 서로 닮음이고, PA:PD = PC:PB이므로, PA * PB = PC * PD이다.

 

 

 

역시 AT를 긋고 BT를 그어서 닮은 삼각형을 찾는다.

 

 

그러면 PAT와 PTB가 서로 닮음이고.. PT:PA = PB:PT라서, PT*PT = PA * PB가 된다.

 

3. 풀이

 

 

a가 Pab이고 b가 Pbc이고 c가 Pcd이면, 위에서 보인 첫번째 정리에 의해

 

Pab * Pcd = Pbc * x이고, x = Pab * Pcd / Pbc = ac/b가 된다.

 

from sys import stdin

a,b,c = map(int,stdin.readline().split())

print(a*c/b)

 

 

참조

 

 

방멱 정리 - 나무위키 (namu.wiki)

방멱 정리 - 나무위키