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조건부독립의 성질

만약 w1,w2,...wnc가 주어질 때 서로 조건부독립이라면

 

P(w1,w2,....,wn|c)=ni=1P(wi|c)이다?

 

n=2라고 한다면

 

P(w1|w2,c)=P(w1|c)이므로 P(w1,w2,c)P(w2,c)=P(w1,c)P(c)

 

식을 정리하면

 

P(w1,w2,c)P(c)=P(w1,c)P(c)P(w2,c)P(c)

 

그러므로

 

P(w1,w2|c)=P(w1|c)P(w2|c)

 

n=k에서 식이 성립한다고 가정하자.

 

P(w1,w2,....,wk|c)=ki=1P(wi|c)

 

n=k+1에서

 

P(w1,w2,....,wk+1|c)=P(w1,w2,....,wk,wk+1,c)P(c)

 

에서 식을 조절하여

 

P(w1,w2,....,wk+1|c)=P(w1,w2,....,wk,wk+1,c)P(wk+1,c)P(wk+1,c)P(c)

 

그러므로

 

P(w1,w2,....,wk+1|c)=P(w1,w2,....,wk|wk+1,c)P(wk+1|c)

 

그런데 w1,w2,...wnc가 주어질 때 서로 조건부독립이므로

 

P(w1,w2,....,wk|wk+1,c)=P(w1,w2,....,wk|c)

 

그런데 P(w1,w2,....,wk|c)=ki=1P(wi|c)이므로

 

P(w1,w2,....,wk+1|c)=P(wk+1|c)ki=1P(wi|c)=k+1i=1P(wi|c)

 

따라서 n=k+1에도 성립한다.

 

모든 자연수 n에 대하여

 

만약 w1,w2,...wnc가 주어질 때 서로 조건부독립이라면

 

P(w1,w2,....,wn|c)=ni=1P(wi|c)

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