그래프 전파 모형1 - 선형 임계치 모형(linear threshold model)

1. 그래프를 통한 전파

 

1) 정보의 전파

 

SNS에 의한 정보 전파

 

스페인의 15M 운동은 트위터를 통해 전국적으로 알려졌다

 

 

 

 

2) 행동의 전파

 

SNS에 의한 행동 전파

 

틀리면 펭귄 사진으로 프로필 사진을 바꿈

 

 

 

아이스 버킷 챌린지

 

 

3) 고장의 전파

 

small world effect의 예시라고 볼 수도 있다.

 

컴퓨터 네트워크 같은 경우 일부분만 고장나도 다른 부분에서 과부하가 걸려 금방 전체가 고장난다

 

컴퓨터 네트워크 고장

 

 

 

 

 

 

4) 질병의 전파

 

사회에서 극히 일부만 질병에 걸려도 전체로 퍼지는 경우가 많다.

 

코로나19의 전염능력은 엄청나다

 

 

네트워크에서 전파과정은 다양하면서 복잡하다.

 

이것을 체계적으로 이해하고 분석하기 위해 그래프를 이용한 수학적으로 모형화할 필요가 있다.

 

 

2. 선형 임계치 모형(linear threshold model)

 

1) 의사결정 기반의 전파 모형

 

사회에서 대부분은 주변사람들의 의사결정을 보고 본인의 의사결정을 수행하는 경우가 많다.

 

예를 들어 카카오톡과 라인의 경우 서로 호환되지 않는데 주변 사람들이 카카오톡을 많이 사용하는데 혼자 라인을 고수하면 의사소통에 굉장히 불편해질 것

 

주변인이 사용하는 메신저를 사용할 가능성이 높다. 왜냐하면 안그러면 소통이 안되니까

 

 

이렇듯 사회에서 주변 사람들의 의사결정을 기반으로 본인의 의사결정을 내리는 경우에 의사결정기반의 전파모형이 적절하다.

 

 

2) 수학적 추상화

 

친구관계의 u와 v 두 사람을 생각해보자.

 

두개의 호환되지 않는 기술 A,B중 어느 하나를 각각 선택해야한다.

 

둘 다 A를 사용하면 각각 행복도가 +a만큼 오르고 둘 다 B를 사용하면 각각 행복도가 +b만큼 오른다.

 

그러나 서로 다른 것을 사용하면 행복도가 오르지 않는다.

 

 

 

여러명의 친구가 있는 SNS 상황에서도 비슷하다.

 

u가 5명의 친구가 있고 2명이 A를 선택하고 있고 3명이 B를 선택하고 있다고 하자.

 

u가 A를 선택하면 행복도가 +2a만큼 오르고 B를 선택하면 행복도가 +3b만큼 오른다.

 

합리적으로 만족도가 높은 선택을 할 것이므로 2a>3b이면 A를 선택하고 2a<3b이면 B를 선택한다.

 

 

 

 

 

조금 더 일반화하여 u의 친구 전체 N명중에 p의 비율로 A를 선택했다고 합시다.

 

그리고 1-p의 비율로 B를 선택했다고 합시다.

 

그렇다면 u는 A를 선택할 시에 만족도는 Npa만큼 오르고 B를 선택할 시에 만족도는 N(1-p)b만큼 오릅니다.

 

 A를 선택했다는 것은 Npa>N(1-p)b라는 뜻이고 정리하면 p>(b/(a+b))라는 뜻입니다.

 

그러니까 u가 A,B중 하나를 선택하려고 하는데 전체 친구 N명중에 A를 선택한 비율이 p이고 1-p의 비율로 B를 선택했다고 알려져있다면

 

p가 b/(a+b)보다 클 때 u는 A를 선택한다는 뜻이다.

 

이러한 모형을 선형 임계치 모형이라 한다.

 

그리고 선택의 기준이 되는 값(여기서는 b/(a+b))을 임계치(threshold)라고 부른다.

 

 

 

 

3) 선형 임계치 모형

 

실험자는 각 node의 의사결정의 기준이 되는 threshold q를 정합니다.

 

이 값은 상황마다 변하지 않습니다. (상황마다 변하는 모형도 있을 것 같은데 못찾겠다…)

 

현재 전부 B를 사용하는 상황을 가정하고 얼리어답터로 A라는 신기술을 사용하는 사람이 network에 등장했다고 하자.

 

얼리어답터는 반드시 A를 고수한다. 의사결정을 바꿀 수 있는 사람은 현재 B를 쓰는 사람들

 

얼리어답터의 집합을 시드집합이라고 부른다.

 

각 node는 neighbor중 A를 선택한 비율이 q를 넘으면 A를 선택한다.

 

현재 u,v가 A를 사용한다고 가정하자. q=55%인 이 상황에 B를 사용하는 사람들 중 선택을 바꾸는 사람들은?

 

 

 

 

동그라미 부분은 이웃 중 A를 선택한 비율이 임계치보다 크므로 선택을 바꾼다

 

4명에게 전파되었다

 

 

 

다시 위와 같은 상황에서 선택을 바꾸는 사람들은?

 

이 때 임계치가 바뀌어야할 것 같지만 이 모형은 일단 임계치는 한번 정하면 고정하는 것 같다…

 

 

 

 

더 이상 전파되는 경우가 없을 때까지 반복한다.

 

 

 

나머지 둘은 여전히 이웃 중 A를 선택한 비율이 1/2이어서 선택을 바꾸지 않는다