1. 문제 16563번: 어려운 소인수분해 (acmicpc.net) 16563번: 어려운 소인수분해 첫째 줄에는 자연수의 개수 N (1 ≤ N ≤ 1,000,000)이 주어진다. 둘째 줄에는 자연수 ki (2 ≤ ki ≤ 5,000,000, 1 ≤ i ≤ N)가 N개 주어진다. www.acmicpc.net 500만 이내의 값에 대한 100만개의 수가 주어질때 각각을 소인수분해하는 문제 2. smallest prime factor smallest prime factor 알고리즘은 어떤 수의 가장 작은 소인수를 찾아 배열에 저장하는 알고리즘이다. 소인수분해를 수행하는 기본 알고리즘은.. p = 2부터 시작해서 $\sqrt{n}$까지 나눠보면서 소인수를 찾는데 #trivial prime factorizatio..
1. 중국인의 나머지 정리(Chinese Remainder Theorem) 정수 $m_{1}, m_{2}, ..., m_{n}$이 임의의 i,j = 1,2,...,n에 대하여 $i \neq j$일때, $m_{i}$와 $m_{j}$가 서로소라면, 즉 $$gcd(m_{i}, m_{j}) = 1, i \neq j$$라고 하자. 일차연립합동식 $$x \equiv a_{1} (mod m_{1})$$, $$x \equiv a_{2} (mod m_{2})$$, $$x \equiv a_{3} (mod m_{3})$$, $$\vdots$$, $$x \equiv a_{n} (mod m_{n})$$ 의 해는 mod $m_{1}, m_{2}, ..., m_{n}$에 대하여 유일하게 존재한다. 2. 보조정리 1 정수 a,b,k..
1. 약수의 개수 자연수 n의 소인수분해가 $$n = p_{1}^{x_{1}}p_{2}^{x_{2}}...p_{k}^{x_{k}}$$라고 한다면, n의 양의 약수의 개수는 $$d(n) = (x_{1}+1)(x_{2}+1)...(x_{k}+1)$$ n을 소인수분해하여, 소인수들의 지수 + 1의 곱의 합이 약수의 개수이다. 1-1) 간단한 증명 왜냐하면 n의 약수는 $p_{1}, p_{2}, ... , p_{k}$들의 곱으로 이루어져 있는데, 각각은 $x_{1}, x_{2}, ... , x_{k}$개씩 사용할 수 있다. 따라서 곱의 법칙에 의해 모든 경우의 수는 $p_{1}, p_{2}, ... , p_{k}$을 각각 (0,1,2,...,$x_{1}$), (0,1,2,...,$x_{2}$), ... , (0..
1. 문제 15712번: 등비수열 (acmicpc.net) 15712번: 등비수열 첫째 줄에 a, r, n, mod가 공백으로 구분되어 주어진다. a, r, n, mod는 모두 1보다 크거나 같고, 109보다 작거나 같은 자연수이다. www.acmicpc.net 초항이 a, 공비가 r, 항 수가 n인 등비수열의 합을 mod로 나눈 나머지를 구하는 간단한 문제 초항이 a이고 공비가 r이며 항 수가 n인 등비수열의 합은.. 공비 r이 1이 아니면, $$S = a \times \frac{r^{n}-1}{r-1}$$ 이라는 아주 쉬운 공식이 있고 이거에 따라 계산해서 mod로 나눈 나머지 구하면 되는거 아니냐 라고 쉽게 생각하면 이 문제는 풀수가 없다 a,r,n이 작으면 상관 없겠지만... 매우 크면 $r^{n..
1. 오일러의 정리(Euler's theorem) a와 n이 서로소인 양의 정수이면, 다음이 성립한다 $$a^{\varphi(n)} \equiv 1 (mod n)$$ 여기서 $\varphi(n)$은 n에 대한 오일러 phi 함수이다. 서로소가 아니라면 다음과 같이 쓸 수 있다. $$a^{\varphi(n) + 1} \equiv a (mod n)$$ n이 소수 p이면, $\varphi(p) = p-1$이므로, a,p가 서로소이면 $a^{p-1} \equiv 1 (mod p)$이다. 페르마의 소정리는 오일러의 정리의 특수한 케이스이다. 2. 거듭제곱을 어떤 정수로 나눈 나머지 $a^{n}$을 어떤 정수 p로 나눈 나머지는 어떻게 구할 수 있을까? $a^{n}$을 직접 계산한 다음에, p로 나눈 나머지를 구하..
1. 합동식에서 기본적으로 알아야하는 성질 1-1) 양변에 어떤 정수에 대한 덧셈이나 뺄셈을 하더라도 상관없다. $a \equiv b (mod p)$이고 $c \equiv d (mod p)$이면, $$a \pm c \equiv b \pm d (mod p)$$ 그러므로, c = d이면, 양변에 동일한 수를 더하거나 빼더라도 합동식은 변하지 않는다. $$a \pm c \equiv b \pm c (mod p)$$ 1-2) 양변에 어떤 정수에 대한 곱셈을 하더라도 상관없다 $a \equiv b (mod p)$이고 $c \equiv d (mod p)$이면, $$ac \equiv bd (mod p)$$ 그러므로, c=d이면, 양변에 동일한 수를 곱하더라도 합동식은 변하지 않는다. $$ac \equiv bc (mod..
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