페리 수열(Farey sequence) 문제를 해결하기 위해 알아야 할 기본 성질 간단하게

1. n번째 페리 수열

 

0부터 1사이의 분모가 n이하인 모든 기약분수를 오름차순으로 나열한 수열

 

n = 1부터 8까지의 경우를 나열하면 다음과 같다.

 

 

 

 

2. 두 분수 사이에 있는 분수

 

theorem1)

 

0과 1 사이의 두 분수 $\frac{a}{b}$와 $\frac{c}{d}$에 대하여 $\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$라고 하자.

 

$$\frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+d} < \frac{c}{d}$$ 이 항상 성립한다.

 

 

먼저 a,b,c,d가 자연수이므로 $\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$에서 양변에 d를 곱하면

 

$\frac{ad}{b} < c$이고 다시 양변에 b를 곱하면 $ad < bc$이다.

 

그러므로 $bc - ad > 0$이다.

 

그런데 $$\frac{a+c}{b+d} - \frac{a}{b} = \frac{b(a+c) - a(b+d)}{b(b+d)} = \frac{bc-ad}{b(b+d)} > 0$$

 

마찬가지로 $$\frac{c}{d} - \frac{a+c}{b+d} = \frac{c(b+d) - d(a+c)}{d(b+d)} = \frac{bc-ad}{d(b+d)} > 0$$

 

따라서 두 분수 $\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$이면, 단순하게 분자끼리 합하고 분모끼리 합하기만 하면..

 

두 분수 사이에 있는 분수 $\frac{a+c}{b+d}$를 얻는다.

 

 

 

3. n번째 페리수열에서 서로 이웃하는 두 기약분수

 

n번째 페리수열에서 두 분수가 서로 이웃하다는 것은 $\frac{a}{b}$와 $\frac{c}{d}$사이에 분수가 존재하지 않는 것이다.

 

예를 들어 4번째 페리수열에서 $\frac{1}{4}$와 $\frac{1}{3}$은 서로 이웃하는 두 기약분수이다.

 

 

 

두 기약분수 $\frac{a}{b}$와 $\frac{c}{d}$가 n번째 페리수열에서 서로 이웃하고 $\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$라고 하자.

 

두 기약분수의 차이는.. $$\frac{c}{d} - \frac{a}{b} = \frac{bc - ad}{bd}$$

 

theorem2)

 

만약 n번째 페리수열에서 두 기약분수 $\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$가 서로 이웃한 기약분수라면 bc-ad = 1이어야한다.

 

 

직관적으로는 bc-ad가 1보다 크다면 bc-ad보다 작은 k에 대하여 k/bd을 반드시 잡을 수 있고, 

 

그러므로 a/b + k/bd인 기약분수가 a/b와 c/d사이 반드시 있기 때문이다.

 

 

 

 

명확히는 수학적 귀납법으로 증명할 수 있다.

 

n = 1인 경우 서로 이웃하는 두 분수 0/1과 1/1은 a = 0, b = 1, c = 1, d = 1이므로 bc-ad = 1이다.

 

 

 

 

 

만약 n번째 페리수열에서 두 분수 $\frac{a}{b}$와 $\frac{c}{d}$가 이웃하면 bc-ad = 1이라고 하자.

 

그러면 n+1번째 페리수열에서 두 분수 $\frac{a}{b}$와 $\frac{c}{d}$가 서로 이웃할때, bc - ad = 1인지 보면 된다.

 

두 분수 사이에 있는 분수 $\frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+d} < \frac{c}{d}$에 대하여, 2가지 경우가 있다.

 

먼저 b+d <= n+1이면 분모가 n+1이하이므로, n+1번째 페리수열은 다음과 같이

 

$$... ,\frac{a}{b}, \frac{a+c}{b+d}, \frac{c}{d}, ...$$ 가 존재한다.

 

이때 이웃하는 두 분수 $\frac{a}{b}$와 $\frac{a+c}{b+d}$를 보면 c = a+c, d = b+d이므로

 

bc - ad = b(a+c) - a(b+d) = ba+bc - ab-ad = bc - ad = 1이다.

 

마찬가지로 이웃하는 두 분수 $\frac{a+c}{b+d}$와 $\frac{c}{d}$를 보면 a = a+c, b = b+d이므로,

 

bc - ad = (b+d)c - (a+c)d = bc + cd - ad - cd = bc - ad = 1이다.

 

그런데 b+d > n+1이면, $\frac{a+c}{b+d}$는 분모가 n+1이하인 n+1번째 페리수열에 존재하지 않는다.

 

따라서 n+1번째 페리수열은 다음과 같이..

 

$$...., \frac{a}{b}, \frac{c}{d}, ...$$ 가 존재한다.

 

이때 이웃하는 두 분수 $\frac{a}{b}, \frac{c}{d}$는 가정에 의해 bc-ad = 1이다.

 

그러므로 어느 경우에나 n+1번째 페리수열에서도 이웃하는 두 분수에 대하여 bc - ad = 1이다. 

 

따라서 모든 자연수 n = 1,2,3,..에 대하여 n번째 페리수열에서 이웃하는 두 분수 $\frac{a}{b}$와 $\frac{c}{d}$에 대해

 

bc - ad = 1이다.

 

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4. bc - ad = 1이라는 조건

 

theorem3)

 

자연수 a,b,c,d에 대하여 bc - ad = 1이고 a < b, c < d이며 $\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$라고 하자.

 

$\frac{a}{b}$와 $\frac{c}{d}$는 max(b,d)번째 페리수열의 이웃하는 두 기약분수이다.

 

 

b가 a의 배수로 b = ka라고 하자.

 

bc-ad = 1을 a로 나누면 kc - d = 1/a인데 좌변은 정수이고 우변은 유리수이므로 모순이다.

 

마찬가지로 d가 c의 배수이면 모순이다.

 

따라서 a,b는 서로소이고 c,d는 서로소이므로 a/b와 c/d는 0과 1 사이의 기약분수이다.

 

 

이 때 $\frac{a}{b}$와 $\frac{c}{d}$가 n = max(b,d)번째 서로 이웃하는 기약분수가 아니라면

 

$$\frac{a}{b} < \frac{p}{q} < \frac{c}{d}$$ 인 $\frac{p}{q}$가 존재한다.

 

$\frac{a}{b}$와 $\frac{p}{q}$의 차이와 $\frac{c}{d}$와 $\frac{p}{q}$의 차이는 0보다 커야한다.

 

$$\frac{bp - aq}{bq} > 0$$

 

$$\frac{cq - dp}{dq} > 0$$

 

따라서 bp - aq >= 1이고 cq - pd >= 1이다.

 

두 부등식에서 bp >= 1+aq, pd <= cq - 1

 

b,d는 자연수이므로 부등식을 각각 b,d로 나눠주면 p >= (1+aq)/b, p <= (cq-1)/d

 

따라서 (1+aq)/b <= p <= (cq-1)/d

 

그러면 우변과 좌변의 차이는 0이상이므로 (cq-1)/d - (1+aq)/b >= 0

 

(bcq - b) - (d+aqd) >= 0

 

bcq - b - d - aqd >= 0

 

q(bc-ad) - b - d >= 0

 

여기서 bc-ad = 1이므로 q >= b+d

 

그런데 n = max(b,d)이므로, b나 d중 하나는 n이고 다른 하나는 1이상의 자연수이므로 b+d는 무조건 n+1이상이다. 

 

따라서 q >= b+d >= max(b,d)+1이다.

 

그러므로 $\frac{p}{q}$는 분모 q가 max(b,d)보다 크므로 max(b,d)번째 페리수열에 존재하지 않아서 모순이다.

 

따라서 bc - ad = 1이면 $\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$는 max(b,d)번째 페리수열에서 서로 이웃하고 있다.

 

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5. $\frac{a+c}{b+d}$의 성질

 

어떤 페리 수열에서 $\frac{p}{q}$가 $\frac{a}{b}$와 이웃하고, $\frac{c}{d}$와도 이웃하다고 하자.

 

즉, $\frac{a}{b} < \frac{p}{q} < \frac{c}{d}$이다.

 

페리 수열에서 서로 이웃하는 두 기약분수 사이에는 bc - ad = 1이라는 관계가 성립한다.

 

$\frac{a}{b}$와 $\frac{p}{q}$가 서로 이웃하므로 bp - aq = 1

 

$\frac{p}{q}$와 $\frac{c}{d}$가 서로 이웃하므로 cq - pd = 1

 

bp - aq = cq - pd

 

bp + pd = cq + aq

 

$$\frac{p}{q} = \frac{a+c}{b+d}$$

 

 

theorem4)

 

그러므로 n번째 페리수열에서 $\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$이고 서로 이웃하지 않는다면,

 

n+1번째 페리수열에서 $\frac{a+c}{b+d}$가 유일하게 들어갈 수 있다.

 

 

이제 n번째 페리수열에서 서로 이웃하는 두 분수 $\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$는 bc - ad = 1이다.

 

하지만 n+1번째 페리수열에서는 서로 이웃하지 않는다고 하자.

 

theorem5)

 

그럴때 들어갈 수 있는 두 분수 사이에 있는 분수 $\frac{a+c}{b+d}$는 반드시 기약분수이다.

 

 

$\frac{a+c}{b+d}$가 기약분수가 아니라고 가정해보자.

 

a+c와 b+d를 모두 나누어 떨어지게 하는 공통 소인수 p가 존재한다.

 

a+c = pq

 

b+d = pr

 

여기서 q,r은 서로소

 

첫번째 식의 양변에 b를 곱하고, 두번째 식의 양변에 a를 곱하면

 

ba + bc = bpq

 

ba + ad = apr

 

첫번째 식에서 두번째 식을 빼면 bc - ad = bpq - apr = p(bq - ar)

 

그런데 bc - ad = 1이므로 1을 나누는 소수 p는 존재하지 않는다.

 

따라서 $\frac{a+c}{b+d}$는 기약분수이다. 

 

 

6. 페리 수열을 만드는 방법

 

위 결론들을 이용하면 다음과 같은 방법으로 페리 수열을 만들 수 있다.

 

먼저 1번째 페리수열은 $\frac{0}{1}$, $\frac{1}{1}$이다.

 

2번째 페리수열은 이 두 분수 사이에 $\frac{a+c}{b+d} = \frac{0+1}{1+1}$이 유일하게 들어갈 수 있다.

 

따라서 $\frac{0}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{1}$이 2번째 페리수열이다.

 

3번째 페리수열은 $\frac{0}{1}, \frac{1}{2}$ 사이에 $\frac{0+1}{1+2} = \frac{1}{3}$이 유일하게 들어갈 수 있다.

 

그리고 $\frac{1}{2}, \frac{1}{1}$ 사이에 $\frac{1+1}{2+1} = \frac{2}{3}$이 유일하게 들어갈 수 있다.

 

따라서 $\frac{0}{1}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{1}{1}$이 3번째 페리수열이다.

 

4번째 페리수열도 비슷하게 구할 수 있다.

 

그런데 무조건 두 분수 사이에 분수를 생성할 수 있는 것은 아니다.

 

n번째 페리수열에서 분모가 n이하인 기약분수가 들어가야한다.

 

하지만 4번째 페리수열로부터 5번째 페리수열을 만들때, $\frac{1}{3}, \frac{1}{2}$ 사이에 $\frac{1+1}{3+2} = \frac{2}{5}$가 들어가야한다.

 

하지만 분모가 5인 기약분수이므로 4번째 페리수열에서는 들어가지 않는다.

 

그래서 $\frac{0}{1}, \frac{1}{1}$부터 시작해서 $\frac{a+c}{b+d}$를 중간에 넣는데, b+d <= n을 만족하면 넣어야한다.

 

이때 n번째 페리수열에서 서로 이웃하는 기약분수이므로 $\frac{a+c}{b+d}$는 따로 약분할 필요 없이 확실하게 기약분수이다.

 

#from sys import setrecursionlimit
#setrecursionlimit(100000)

def farey(a,b,c,d,n):
    
    if b+d >= n+1:
        
        sequence.append((c,d))
    
    elif b+d <= n:

        farey(a,b,a+c,b+d,n)
        farey(a+c,b+d,c,d,n)

n = 4

sequence = [(0,1)]

farey(0,1,1,1,n)

print(sequence)
[(0, 1), (1, 4), (1, 3), (1, 2), (2, 3), (3, 4), (1, 1)]