28장 복권을 사면 살수록 손해본다

1. 기댓값

 

1043억 1607만 8000원!

 

2022년 9월 대한민국 1031회 로또복권 총 판매금액이다.

 

서민들의 살림살이가 어려워질수록 복권 판매금액은 늘어난다고 한다.

 

저마다의 사연으로, 저마다의 인생 역전을 꿈꾸며 소위 '명당'이라고 불리는 복권 판매점 앞에는 이른 아침부터 

 

손님이 몰리기도 한다.

 

모두 30억원짜리 1등에 당첨되면 좋겠지만 십중팔구 낙첨이다.

 

NBA 농구선수 샤킬 오닐은 자유투 실력이 별로인 것으로 유명하다.

 

2번 쏘면 1번 들어가는 정도였다. 

 

복권 당첨이나 샤킬 오닐이 자유투에 모두 성공하는 것은 결과를 미리 알 수 없는 불확실한 사건이다.

 

사람들은 복권이 당첨되기를 바라고, 샤킬 오닐은 자유투가 2번 모두 림 안에 들어가기를 바라며 슛을 쏜다.

 

다만 관중의 기대는 냉철해 2번 중 1번이라도 성공하기를 바랄 것이다.

 

이때 '기대'는 사실 '예상'에 가깝다.

 

다음 두 단어의 정확한 의미를 살펴보자.

 

'기대수명': 0세 출생아가 향후 생존할 것으로 기대되는 평균 기간

 

'기대수익률': 각각의 투자에 따라 실제로 실현될 가능성이 있는 수익률의 값들을 평균한 값

 

기대수명과 기대수익률은 예상수명, 예상수익률로 바꿔 불러도 의미가 다르지 않다.

 

실제로 혼용해 쓰이기도 한다.

 

이처럼 서로 달라질 수 있는 결과들을 대표하는 값을 통계학에서는 기댓값이라고 부른다.

 

그리고 이 기댓값은 평균의 다른 이름이다.

 

샤킬 오닐이 자유투 2번을 던진다면 평균 몇 개 성공할까?

 

자유투 2개를 모두 실패할 확률은 (1/2) * (1/2) = 1/4

 

2개 모두 성공할 확률은 (1/2) * (1/2) = 1/4

 

따라서 자유투 2개를 던지는 행위를 4번하면 2번은 1개를 성공시키리라고 기대할 수 있다.

 

4번했을때 0개, 1개, 1개, 2개 정도의 확률로 나타날 수 있으므로 이들의 평균인 1개가 샤킬 오닐이 자유투에 성공할 개수의 기댓값이다.

 

 

2. 손해를 사는 행운

 

로또 복권의 기댓값은 얼마일까?

 

45개 숫자 중 6개 숫자를 모두 맞춰야 당첨된다면 45개의 서로 다른 숫자 중 6개의 숫자를 고르는 가짓수는 8145060가지이다.

 

이 중 단 1가지 경우가 6개의 숫자가 모두 맞는 경우이므로 1등에 당첨될 확률은 1/8145060이다.

 

나머지를 모두 꽝이라고 가정하자. 

 

약 800만개의 복권을 산다면 단 1개가 당첨이고 모두 꽝이다.

 

(30억+0+0+0+...+0) / 800만 = 약 375원

 

따라서 1000원을 주고 이 복권을 산다면 375원을 얻을 것이라고 기대할 수 있으므로 기대수익은 -625원이다.

 

복권을 사는 나는 30억이 당첨되길 빌면서 사지만 실제로는 625원의 손해를 사는 셈이다.

 

실제로 우리나라에서 발매되는 복권의 경우 당첨금 기댓값은 1000원당 500~648원 정도라고 한다.