정수론 문제 - 나머지 연산을 꼭 기억하고 있어라

1. 문제 4375번: 1 (acmicpc.net) 4375번: 1 2와 5로 나누어 떨어지지 않는 정수 n(1 ≤ n ≤ 10000)가 주어졌을 때, 1로만 이루어진 n의 배수를 찾는 프로그램을 작성하시오. www.acmicpc.net 2. 풀이1 문제는 n의 배수인, 1로만 이루어진 수 중에서 자리수가 가장 작은 수를 찾는 문제 아주 단순하게는 n보다 큰 1로만 이루어진 수를 생성한 다음에.. 그 수가 n으로 나누어 떨어지는지 검사해보면 된다 n의 길이를 i라 한 다음에... 1로만 이루어진 길이 i인 수부터 시작해서.. n으로 나누어가지고 가장 먼저 나누어 떨어지는 수를 출력 from sys import stdin while 1: try: n = int(stdin.readline()) i = len..

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• · 2023. 4. 24.
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팩토리얼 끝에서 가장 먼저 나오는 0이 아닌 수를 찾는 방법

1. 문제1 2553번: 마지막 팩토리얼 수 (acmicpc.net) 2553번: 마지막 팩토리얼 수 첫째 줄에 N이 주어진다. N은 20,000보다 작거나 같은 자연수 이다. www.acmicpc.net 2. 풀이 저번에 풀었던 문제와는 다르게 팩토리얼 계산한 값에서 마지막에서 0이 아닌 처음으로 다른 수가 나올때, 그 수를 출력하는 문제 쉽게 생각할 수 있는 방법은..? 저번에 배운 마지막에 0이 나오는 개수를 구하는 방법을 응용하기 마지막에 나오는 0의 개수 k를 구하고, n!을 계산하여 prod라고 저장한 다음에... prod를 $10^{k}$로 나눠준다면? 일의 자리가 정답이 된다 일의 자리는 어떻게 구해? str()로 바꿔서 -1번을 뽑아? 아니 str()로 바꾸는게 생각보다 시간 많이 먹어 ..

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• · 2023. 4. 12.
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컴퓨터가 등비수열의 합을 구하는 방법

1. 문제 15712번: 등비수열 (acmicpc.net) 15712번: 등비수열 첫째 줄에 a, r, n, mod가 공백으로 구분되어 주어진다. a, r, n, mod는 모두 1보다 크거나 같고, 109보다 작거나 같은 자연수이다. www.acmicpc.net 초항이 a, 공비가 r, 항 수가 n인 등비수열의 합을 mod로 나눈 나머지를 구하는 간단한 문제 초항이 a이고 공비가 r이며 항 수가 n인 등비수열의 합은.. 공비 r이 1이 아니면, $$S = a \times \frac{r^{n}-1}{r-1}$$ 이라는 아주 쉬운 공식이 있고 이거에 따라 계산해서 mod로 나눈 나머지 구하면 되는거 아니냐 라고 쉽게 생각하면 이 문제는 풀수가 없다 a,r,n이 작으면 상관 없겠지만... 매우 크면 $r^{n..

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• · 2022. 12. 20.
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오일러의 정리를 배우고 거듭제곱의 나머지를 구하는 방법 익히기

1. 오일러의 정리(Euler's theorem) a와 n이 서로소인 양의 정수이면, 다음이 성립한다 $$a^{\varphi(n)} \equiv 1 (mod n)$$ 여기서 $\varphi(n)$은 n에 대한 오일러 phi 함수이다. 서로소가 아니라면 다음과 같이 쓸 수 있다. $$a^{\varphi(n) + 1} \equiv a (mod n)$$ n이 소수 p이면, $\varphi(p) = p-1$이므로, a,p가 서로소이면 $a^{p-1} \equiv 1 (mod p)$이다. 페르마의 소정리는 오일러의 정리의 특수한 케이스이다. 2. 거듭제곱을 어떤 정수로 나눈 나머지 $a^{n}$을 어떤 정수 p로 나눈 나머지는 어떻게 구할 수 있을까? $a^{n}$을 직접 계산한 다음에, p로 나눈 나머지를 구하..

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• · 2022. 12. 18.
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페르마의 소정리 문제 풀어보면서 익히기

1. 페르마의 소정리(Fermat's little Theorem) 1-1) p가 소수이고, a가 p의 배수가 아니면( = a와 p가 서로소이면 = gcd(a,p) = 1)이면, $$a^{p-1} \equiv 1 (mod p)$$ 이다. 1-2) p가 소수이면, 모든 정수 a에 대하여 $$a^{p} \equiv a (mod p)$$ 응용하는 방법은 여러가지가 있겠지만, 하나하나 다 나열할 수도 없고, 접한지 얼마 안되었으니 나도 다 모르고 증명도 굳이 할 필요없을 것 같고, 받아들이면서 문제를 풀면서 익혀보기로 하자 2. 응용 - 합성수 판정 페르마의 소정리 역은 성립하지 않는다. 즉, a와 p가 서로소일때, $$a^{p-1} \equiv 1 (mod p)$$ 가 성립한다면, p는 소수이다는 거짓이다. 즉, ..

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• · 2022. 12. 15.
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오일러의 phi 함수 직접 구현해보면서 개념 익히기

1. 오일러의 phi 함수(Euler's phi function, totient function) $\varphi(n)$은 1부터 n까지의 자연수 중에서 n과 서로소인 자연수의 개수로 정의한다. 그 성질과 응용이 매우 다양하고 또 매우 어려운데... 하나하나 파고들면 끝도 없으니까 문제 풀면서 익히기로 하자 2. 구현 예시1 - 가장 간단한 구현 가장 간단한 방법은 1이상 n이하의 자연수 중에서, n과 서로소인 것의 개수를 세보면 된다. 그러니까 1이상 n이하의 자연수 중에서 n과 최대공약수가 1인 자연수의 개수가 n이하에서 몇개인지 세보면 된다. 유클리드 호제법을 이용해서 최대공약수를 구하는 함수를 만들고, def gcd(a,b): while b != 0: a,b = b,a%b return a 2부터 ..

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• · 2022. 12. 13.
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