연분수(continued fraction)를 이용한 선형 디오판토스 방정식의 해를 구하는 방법

1. 연분수 표현에서 a,b의 최대공약수를 바로 구하는 방법 $\frac{A}{B}$의 연분수 표현을 구하고자 한다면, A/B가 기약분수 형태로 들어가줘야한다. 기약분수로 바꿀려면 A,B의 최대공약수가 g = gcd(A,B)일때, $p_{k} = A/g, q_{k} = B/g$이고 그래서 $\frac{A}{B} = \frac{p_{k}}{q_{k}}$이다. 따라서, A/B가 기약분수가 아닐때, 연분수 표현 p,q를 구한 다음 A를 p[-1]로 나눠주면 A,B의 최대공약수가 된다. #A/B가 기약분수가 아닐때, A,B의 최대공약수 구하기 def continued_fraction(p,q): f = [] while q != 0: f.append(p//q) p,q = q,p%q return f def conve..

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• · 2023. 9. 29.
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중국인의 나머지 정리(Chinese Remainder Theorem) 기본 이해하기

1. 중국인의 나머지 정리(Chinese Remainder Theorem) 정수 $m_{1}, m_{2}, ..., m_{n}$이 임의의 i,j = 1,2,...,n에 대하여 $i \neq j$일때, $m_{i}$와 $m_{j}$가 서로소라면, 즉 $$gcd(m_{i}, m_{j}) = 1, i \neq j$$ 라고 하자. 일차연립합동식 $$x \equiv a_{1} (mod m_{1})$$ , $$x \equiv a_{2} (mod m_{2})$$ , $$x \equiv a_{3} (mod m_{3})$$ , $$\vdots$$ , $$x \equiv a_{n} (mod m_{n})$$ 의 해는 mod $m_{1}, m_{2}, ..., m_{n}$에 대하여 유일하게 존재한다. 2. 보조정리 1 정수 a,b,k..

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• · 2022. 12. 30.
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모듈로 연산에서 나눗셈을 하는 방법(모듈로 곱셈의 역원 구하기)

1. 합동식에서 기본적으로 알아야하는 성질 1-1) 양변에 어떤 정수에 대한 덧셈이나 뺄셈을 하더라도 상관없다. $a \equiv b (mod p)$이고 $c \equiv d (mod p)$이면, $$a \pm c \equiv b \pm d (mod p)$$ 그러므로, c = d이면, 양변에 동일한 수를 더하거나 빼더라도 합동식은 변하지 않는다. $$a \pm c \equiv b \pm c (mod p)$$ 1-2) 양변에 어떤 정수에 대한 곱셈을 하더라도 상관없다 $a \equiv b (mod p)$이고 $c \equiv d (mod p)$이면, $$ac \equiv bd (mod p)$$ 그러므로, c=d이면, 양변에 동일한 수를 곱하더라도 합동식은 변하지 않는다. $$ac \equiv bc (mod..

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• · 2022. 12. 16.
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확장된 유클리드 알고리즘(extended euclidean algorithm) 구현해보면서 익히기

1. 베주 항등식(Bézout's Identity) 적어도 하나가 0이 아닌 두 정수 a,b에 대하여 $$ax+by = gcd(a,b)$$ 를 만족하는 정수해 x,y가 반드시 존재한다. 여기서 정수해 x,y는 유일하지 않다. 왜냐하면, 양변에 ab를 더하고 빼보면 $$ax+ab + by-ab = gcd(a,b)$$ 이므로, $$a(x+b) + b(y-a) = gcd(a,b)$$ 이므로, (x,y)가 정수해라면, (x+b,y-a)도 정수해가 된다. 2. 유클리드 알고리즘(Euclidean algorithm) 최대공약수를 빠르게 구하는 알고리즘 - 유클리드 호제법 (tistory.com) 최대공약수를 빠르게 구하는 알고리즘 - 유클리드 호제법 1. 최대공약수 두 자연수 a,b가 공통으로 가지는 약수중에서 가장 큰..

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• · 2022. 12. 16.
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