이항정리를 이용한 거듭제곱의 합 1^k+2^k+3^k+...+n^k 을 구하는 방법

1. 이항정리(binomial theorem) 0이상의 정수 n과 음이 아닌 정수 x,y에 대하여, $$(x+y)^{n} = \sum_{k = 0}^{n}\binom{n}{k}x^{k}y^{n-k}$$ https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_theorem Binomial theorem - Wikipedia From Wikipedia, the free encyclopedia Algebraic expansion of powers of a binomial In elementary algebra, the binomial theorem (or binomial expansion) describes the algebraic expansion of powers of a binomial. ..

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• · 2023. 8. 26.
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이항계수를 소수로 나눈 나머지 구하는 방법 - Lucas' Theorem 배우고 적용하기

https://en.wikipedia.org/wiki/Lucas%27s_theorem Lucas's theorem - Wikipedia From Wikipedia, the free encyclopedia In number theory, Lucas's theorem expresses the remainder of division of the binomial coefficient ( m n ) {\displaystyle {\tbinom {m}{n}}} by a prime number p in terms of the base p expansions of the integers m and n. en.wikipedia.org 1. Lucas' Theorem 정수 m,n과 소수 p에 대하여 $$\binom{m}{n..

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• · 2023. 7. 4.
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조합의 곱의 합을 구하는 Vandermonde's identity

https://en.wikipedia.org/wiki/Vandermonde%27s_identity Vandermonde's identity - Wikipedia From Wikipedia, the free encyclopedia Mathematical theorem on convolved binomial coefficients In combinatorics, Vandermonde's identity (or Vandermonde's convolution) is the following identity for binomial coefficients: ( m + n r ) = ∑ k = 0 r ( m k ) ( n en.wikipedia.org 1. Vandermonde's identity 음이 아닌 정수 m..

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• · 2023. 7. 3.
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이항계수를 구하는 알고리즘 고급편 - 페르마의 소정리-

1. 페르마의 소정리 p가 소수이면 모든 정수 a에 대하여 $a^p$와 a를 p로 나눈 나머지는 서로 같다. 만약 a가 p의 배수가 아닌 서로소라면 $a^{(p-1)}$와 1을 p로 나눈 나머지는 서로 같다 역은 성립하지 않는다. 즉 모든 정수 a에 대하여 $a^p \equiv a (mod p)$임에도 불구하고 p가 합성수일 수 있다 2. 응용 - 이항계수를 빠르게 구하는 방법 n과 r이 10만에서 100만정도 되는 매우 큰 수에 대하여 어떻게 하면 빠르게 구할 수 있을까 파스칼의 삼각형을 이용한 다이나믹 프로그래밍으로는 이제는 불가능하다 그래서 $nCr = n! / ((n-r)! * r!)$을 직접 구할 필요가 있는데 이 경우 n과 r이 매우 크면 직접 나타내기 어려우므로 어떤 소수 p에 대해 나머지를..

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• · 2022. 8. 16.
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이항계수를 구하는 알고리즘 기초1 - 파스칼의 삼각형

1. 파스칼의 삼각형 이항계수에 대한 성질 $$nCr = n-1Cr-1 + n-1Cr$$ 을 이용하여 이항계수 값들을 미리 테이블에 저장해놓는다 시간복잡도는 $O(n^2)$ n과 r이 10000이상이면 사용하기 힘들지만 충분히 작다면 사용하지 않을 이유가 없을 정도로 충분히 빠르다 2. 알고리즘 2-1) 행의 수 t를 입력받는다 2-2) 1부터 t+1까지 모든 행에 대해 0으로 초기화한 2차원 배열 생성 ------------------- 만약 행의 수가 아니고 최대 1000Cr까지 구하고 싶다면??? 1001개의 행을 받아야한다는 점을 기억해야한다 ------------------- 2-3) 각 행의 맨 처음과 맨 끝은 1로 만들고 2-4) 나머지는 $nCr = n-1Cr-1 + n-1Cr$을 이용하여 ..

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• · 2022. 8. 15.
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